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考研數學 - 話題

針對考試特點強化解題訓練
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smallbs
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 扎實的基本功是提高解題能力的基礎條件,但是為了適應考研這樣的選拔性考試,在復習備考的沖刺階段,考生還必須根據考研的特點,有針對性地進行解題能力強化訓練。

  有重點地強化解題訓練

  考研大綱包含的內容很多,從理論上說,其中的各個部分都有出題的可能。但是從歷年的試卷來看,考研試題,特別是那些較難的題目,它們的內容相對集中在高等數學的某些重要部分。在基礎訓練階段,考生需要全面認真地復習,但是在提高解題能力的階段,應當根據考研試題的特點,有重點地進行強化訓練。下面以數學(一)為例說明這個問題:數學(一)的考綱幾乎涵蓋了高等數學的所有內容,但是由于考查內容很多,題目的分布面廣,所以純粹一元函數的題目不是很多。因此對于一元微積分部分,解題能力的訓練一定要抓住重點。通過對歷年試題的分析,我們發現,一元函數部分必定有一兩個難度較大的題目。題目所考查的內容和方法比較多地集中在微分中值定理(特別是拉格朗日定理)及導數應用、定積分的性質(例如積分中值定理和變上限積分)和簡單應用等內容,所以對這一部分的解題方法,要做系統性訓練。

  不定積分的運算是高等數學的一個重要組成部分,但是在數學(一)中,純粹不定積分的題目不常出現。在所有的試卷中,如果出現不定積分,一般是一個中等難度,但是有一定綜合性的題目,解題方法會涉及到分部積分法和換元積分法,但是不會很復雜。大家在高等數學課程中學習過的許多技巧,例如有理式的部分分式分解,三角函數有理式求積分的各種代換(例如萬能代換),以及無理式求積分的各種技巧,在試題中很少出現。越是那些套路固定、計算量大的方法,在考研試題中就越少出現。因此對于不定積分,重點是熟練運用分部積分法與換元積分法,其他的技巧只做一般掌握就可以了。

  多元函數微分學幾乎每年都有一道大的題目,考核內容主要集中在微分學的概念與復合函數微分法。

  曲線積分和曲面積分(特別是第二型的線面積分),是每年必考的內容。對于許多考生來講,線面積分的概念和計算是一個難點。這類題目雖然年年有,但是難度不大,變化不多。曲線積分一般要涉及到格林公式、積分與路徑無關;曲面積分經常涉及到高斯公式。因此,對于上述多元微分學與積分學的內容,大家應當重點進行解題訓練。

  提高求解難題的能力

  考研試題中有不少比較難的題目。難題之所以難,一個原因是不容易找到解題思路;另一個是綜合性較強,往往會涉及到多種方法和技巧。為了提高解難題的能力,應當多看、多做、多總結。

  多看,就是通過看輔導書、聽輔導課,多見識各種題型和解題方法;多做,就是親手做足夠的題目,要認真地做好題目的每一步,直到得出正確的結果。只有如此,才能體會解題過程中需要注意的各種問題,將解題能力的提高落到實處。多總結,就是在做題過程中,不斷總結解題思路、方法和技巧。

  為了更具體地說明問題,我們來分析一個例題。(略)

  考研試題,雖然有難題,但都不是偏題、怪題,只要平時多看、多練,找到解題思路不是很困難。有些時候不容易一下找到解決整個題的全部思路,有了一點思路后,要立即動手開始做。往往是做了第一步之后,就比較容易看到第二步的思路。另一方面,綜合性較強的題目往往要經過好幾步才能解決。能否持續作戰,得到最后的結果,取決于自己平時積累的功夫,這種功夫必須靠自己動手解題才能培養。

  總結歸納解題方法

  在歷年的考研試題中,可以看到某種題型經常出現,但是在內容和形式上每次都有一些變化。如果我們不斷地總結和歸納解題方法,就能夠提高對于這類題的解題能力,無需擔心新的變化。例如,在一元函數部分,求證包含函數及其導數的某個等式或者不等式,是一類常見的題型。這類題目的解法會涉及到羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理,或者泰勒公式。

  例如2004年數學(一)中有用拉格朗日定理證明不等式的題,2001年數學(一)中有用泰勒公式定理證明等式的題。只要認真總結,就可以歸納出這樣的規律:(1)是否需要構造輔助函數?怎樣構造輔助函數?(2)什么樣的條件下需要運用拉格朗日定理、柯西定理,或者需要運用泰勒公式?(3)如果需要運用泰勒公式,應當展成幾階泰勒公式?在哪些點上展開?如果在解題訓練中將這些方法歸納清楚,并加以練習,遇到相似的題目時,把握就大多了。

  在數學(一)中,多元函數微分學、曲線和曲面積分等部分每年都有題目。微分學部分的試題主要是微分學的概念與復合函數微分法,仔細分析這些題目,不但可以了解問題的各種提法,而且能夠歸納出有效的解題方法。對于曲線積分和曲面積分,應當總結是否需要運用格林公式和高斯公式?怎樣運用這些公式?由于多元微積分部分的題目一般不是很難,所以只要注意歸納總結,提高解題能力沒有太大困難。

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