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《高等代數(shù)》復(fù)習(xí)參考提綱

一、總體要求

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)各專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)理論課。要求學(xué)生掌握高等代數(shù)的基本概念，基本理論，基本方法和基本技巧;熟練掌握矩陣和線性變換的關(guān)系，學(xué)會(huì)線性方程組，矩陣，線性變換問題的相互轉(zhuǎn)化;理解具體與抽象、特殊與一般、有限與無限等辨證關(guān)系。并善于應(yīng)用這些理論和方法,具有較強(qiáng)的分析問題與解決問題的能力。

二、課程考試內(nèi)容

(一)多項(xiàng)式

數(shù)域，整除的概念與性質(zhì)，最大公因式，因式分解，重因式，多項(xiàng)式函數(shù)，有理系數(shù)多項(xiàng)式，多元多項(xiàng)式，對(duì)稱多項(xiàng)式。

(二)行列式

排列，n階行列式的概念，n階行列式的性質(zhì)，行列式的計(jì)算，行列式按一行(列)展開，拉普拉斯(Lap lace)定理，克蘭姆法則。

(三) 線性方程組

消元法，矩陣，矩陣的秩，線性方程組的初等變換等概念及性質(zhì)，線性方程組有解判別定理。n維向量的概念及運(yùn)算;向量組的線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無關(guān)等概念;向量組的線性相關(guān)性的判定;兩個(gè)向量組的等價(jià);向量組的極大無關(guān)組、秩的概念及性質(zhì);向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系。線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

(四) 矩陣

矩陣的概念， 矩陣的運(yùn)算， 矩陣乘積的行列式與秩， 矩陣的逆， 矩陣的分塊， 初等矩陣，分塊矩陣的初等變換及應(yīng)用。

(五)二次型

二次型的矩陣表示，標(biāo)準(zhǔn)形，唯一性，慣性定律，正定二次型。

(六)線性空間

線性空間的概念與性質(zhì)，維數(shù)，基，坐標(biāo)，基變換，坐標(biāo)變換，子空間，子空間的和與交，子空間的直和，線性空間的同構(gòu)。

(七)線性變換

線性變換的概念與性質(zhì)，線性變換的運(yùn)算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，矩陣相似對(duì)角矩陣的各種條件，線性變換的值域和核，不變子空間，Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，最小多項(xiàng)式。

(八)λ-矩陣

λ-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，行列式因子，不變因子，初等因子，矩陣相似的條件，矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形。

(九)歐幾里得空間

歐幾里得空間的概念與性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)正交基，歐幾里得空間的子空間與同構(gòu)，正交變換與對(duì)稱變換，Schimidt正交化方法，實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，最小二乘法，酉空間。

(十)雙線性函數(shù)

線性函數(shù)，對(duì)偶空間，雙線性函數(shù)。

三、考試形式與試題結(jié)構(gòu)

1、試卷分值：150分

2、考試時(shí)間：180分鐘

3、考試形式：閉卷

4、題型結(jié)構(gòu)：選擇與填空題，計(jì)算題，證明題。

四、推薦參考書目

1、北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編，《高等代數(shù)》(第三版)，北京，高等教育出版社。

2、張禾瑞，郝鈵新，《高等代數(shù)》(第四版)，北京，高等教育出版社。

3、馬建榮，劉三陽，《線性代數(shù)選講》，北京，電子工業(yè)出版社。

4、李師正等，《高等代數(shù)解題方法與技巧》，北京，高等教育出版社。