• 2026考研英語(yǔ)全程班 6班
• 26考研全科上岸規(guī)劃營(yíng)「擇校▪規(guī)劃▪備考」
• 2026考研專業(yè)課復(fù)習(xí)資料「真題▪筆記▪講義▪題庫(kù)」

考研高數(shù)求極限是考研數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)，下面將各種求極限的一般題型總結(jié)如下，希望能幫到你們。

1、求分段函數(shù)的極限，當(dāng)函數(shù)含有絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，就很有可能是有分情況討論的了!當(dāng)X趨近無(wú)窮時(shí)候存在e的x次方的時(shí)候，就要分情況討論應(yīng)為E的x次方的函數(shù)正負(fù)無(wú)窮的結(jié)果是不一樣的!

2、極限中含有變上下限的積分如何解決嘞?說(shuō)白了，就是說(shuō)函數(shù)中現(xiàn)在含有積分符號(hào)，這么個(gè)符號(hào)在極限中太麻煩了你要想辦法把它搞掉!

解決辦法：

1、求導(dǎo)，邊上下限積分求導(dǎo)，當(dāng)然就能得到結(jié)果了，這不是很容易么?但是!有2個(gè)問(wèn)題要注意!問(wèn)題1：積分函數(shù)能否求導(dǎo)?題目沒(méi)說(shuō)積分可以導(dǎo)的話，直接求導(dǎo)的話是錯(cuò)誤的!!!!問(wèn)題2：被積分函數(shù)中既含有t又含有x的情況下如何解決?

解決1的方法：就是方法2微分中值定理!微分中值定理是函數(shù)與積分的聯(lián)系!更重要的是他能去掉積分符號(hào)!

解決2的方法：當(dāng)x與t的函數(shù)是相互乘的關(guān)系的話，把x看做常數(shù)提出來(lái)，再求導(dǎo)數(shù)!!當(dāng)x與t是除的關(guān)系或者是加減的關(guān)系,就要換元了!(換元的時(shí)候積分上下限也要變化!)

3、求的是數(shù)列極限的問(wèn)題時(shí)候:夾逼或者分項(xiàng)求和定積分都不可以的時(shí)候,就考慮x趨近的時(shí)候函數(shù)值,數(shù)列極限也滿足這個(gè)極限的,當(dāng)所求的極限是遞推數(shù)列的時(shí)候:首先:判斷數(shù)列極限存在極限的方法是否用的單調(diào)有界的定理。判斷單調(diào)性不能用導(dǎo)數(shù)定義!!數(shù)列是離散的,只能用前后項(xiàng)的比較(前后項(xiàng)相除相減)，數(shù)列極限是否有界可以使用歸納法最后對(duì)xn與xn+1兩邊同時(shí)求極限,就能出結(jié)果了!

4、涉及到極限已經(jīng)出來(lái)了讓你求未知數(shù)和位置函數(shù)的問(wèn)題。解決辦法：主要還是運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小或者是同階無(wú)窮小。因?yàn)槔��?當(dāng)x趨近0時(shí)候f(x)比x=3的函數(shù),分子必須是無(wú)窮小，否則極限為無(wú)窮,還有洛必達(dá)法則的應(yīng)用,主要是因?yàn)楫?dāng)未知數(shù)有幾個(gè)時(shí)候,使用洛必達(dá)法則,可以消掉某些未知數(shù)，求其他的未知數(shù)。

5、極限數(shù)列涉及到的證明題，只知道是要構(gòu)造新的函數(shù)，但是不太會(huì)!!!

最后總結(jié)一下間斷點(diǎn)的題型：

首先，遇見(jiàn)間斷點(diǎn)的問(wèn)題、連續(xù)性的問(wèn)題、復(fù)合函數(shù)的問(wèn)題，在某個(gè)點(diǎn)是否可導(dǎo)的問(wèn)題。主要解決辦法一個(gè)是畫圖，你能畫出反例來(lái)當(dāng)然不可以了，你實(shí)在畫不出反例，就有可能是對(duì)的，尤其是那些考概念的題目，難度不小，對(duì)我而言證明很難的!我就畫圖!!我要能畫出來(lái)當(dāng)然是對(duì)的，在這里就要很好的理解一階導(dǎo)的性質(zhì)2階導(dǎo)的性質(zhì)，函數(shù)圖形的凹凸性，函數(shù)單調(diào)性函數(shù)的奇偶性在圖形中的反應(yīng)!(在這里尤其要注意分段函數(shù)!(例如分段函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在還相等但是卻不連續(xù)這個(gè)性質(zhì)就比較特殊!!應(yīng)為一般的函數(shù)都是連續(xù)的);

方法2就是舉出反例!(在這里也是尤其要注意分段函數(shù)!!)例如一個(gè)函數(shù)是個(gè)離散函數(shù)，還有個(gè)也是離散函數(shù)他們的復(fù)合函數(shù)是否一定是離散的嘞?答案是NO，舉個(gè)反例就可以了;

方法3上面的都不行那就只好用定義了，主要是寫出公式，連續(xù)性的公式，求在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的公式

最后了，總結(jié)一下函數(shù)在某一點(diǎn)是否可導(dǎo)的問(wèn)題：

1、首先函數(shù)連續(xù)不一定可導(dǎo)，分段函數(shù)x絕對(duì)值函數(shù)在(0，0)不可導(dǎo)，我的理解就是：不可導(dǎo)=在這點(diǎn)上圖形不光滑�？蓪�(dǎo)一定連續(xù)，因?yàn)樗�有個(gè)前提，在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，假如沒(méi)有這個(gè)前提，分段函數(shù)左右的導(dǎo)數(shù)也能相等;

主要考點(diǎn)1：函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)，他的絕對(duì)值函數(shù)在這點(diǎn)是否可導(dǎo)?解決辦法：記住函數(shù)絕對(duì)值的導(dǎo)數(shù)等于f(x)除以(絕對(duì)值(f(x)))再乘以F(x)的導(dǎo)數(shù)。所以判斷絕對(duì)值函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)，首先判斷函數(shù)等于0的點(diǎn)，找出這些點(diǎn)之后，這個(gè)導(dǎo)數(shù)并不是百分百不存在，原因很簡(jiǎn)單分母是無(wú)窮小，假如分子式無(wú)窮小的話，絕對(duì)值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)依然存在啊，所以還要找出f(a)導(dǎo)數(shù)的值，不為0的時(shí)候，絕對(duì)值函數(shù)在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是無(wú)窮，所以絕對(duì)值函數(shù)在這些點(diǎn)上是不可導(dǎo)的啊。

考點(diǎn)2：處處可導(dǎo)的函數(shù)與在，某一些點(diǎn)不可導(dǎo)但是連續(xù)的函數(shù)相互乘的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)的判斷，直接使用導(dǎo)數(shù)的定義就能證明，我的理解是f(x)連續(xù)的話但是不可導(dǎo)，左右導(dǎo)數(shù)存在但是不等，左右導(dǎo)數(shù)實(shí)際上就是X趨近a的2個(gè)極限，f(x)乘以G(x)的函數(shù)在x趨近a的時(shí)候，f(x)在這點(diǎn)上的這2個(gè)極限乘以g(a)，當(dāng)g(a)等于0的時(shí)候，左右極限乘以0當(dāng)然相等了，乘積的導(dǎo)數(shù)=f(a)導(dǎo)數(shù)乘以G(a)+G(a)導(dǎo)數(shù)乘以F(a)，應(yīng)為f(a)導(dǎo)數(shù)乘以G(a)=0，前面推出來(lái)了，所以乘積函數(shù)在這點(diǎn)上就可導(dǎo)了。導(dǎo)數(shù)為G(a)導(dǎo)數(shù)乘以F(a)。