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《高等數(shù)學(xué)》考試大綱

一、考試大綱的性質(zhì)

《高等數(shù)學(xué)》自命題。本大綱適用于報考我校環(huán)境科學(xué)專業(yè)的碩士考生。

二、考試內(nèi)容與要求

微積分

（一）函數(shù)、極限、連續(xù)

考試內(nèi)容

函數(shù)的概念及表示法；函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性；復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)；基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形；初等函數(shù)；函數(shù)關(guān)系的建立；數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)；函數(shù)的左極限和右極限；無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較；極限的四則運算；極限存在的兩個準則；兩個重要極限；函數(shù)連續(xù)的概念；函數(shù)間斷點的類型；初等函數(shù)的連續(xù)性；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

考試要求

1.理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系。

2.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。

3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。

4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。

5.了解極限的概念，了解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左極限、右極限之間的關(guān)系。

6.掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則。

7.掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

8.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限。

9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。

10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。

（二）一元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)和微分的概念；導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義；函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系；平面曲線的切線和法線；導(dǎo)數(shù)和微分的四則運算；基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法；高階導(dǎo)數(shù)；一階微分形式的不變性；微分中值定理；洛必達法則；函數(shù)單調(diào)性的判別；函數(shù)的極值；函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線；

函數(shù)的最大值與最小值。

考試要求

1.理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。

2.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。

3.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。

4.會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

5.理解并會用羅爾（Rolle）定理、拉格郎日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理。

6.掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。

7.理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用。

8.會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線。

（三）一元函數(shù)積分學(xué)

考試內(nèi)容

原函數(shù)和不定積分的概念；不定積分的基本性質(zhì)；基本積分公式；定積分的概念和基本性質(zhì)；定積分中值定理；積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)；牛頓－萊布尼茨（Newton–Leibniz）公式；不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法；反常（廣義）積分；定積分的應(yīng)用。

考試要求

理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念。
掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分與分部積分法。
理解積分上限函數(shù)的概念，會求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓－萊布尼茨公式。
了解反常積分的概念，會計算反常積分。
掌握用定積分表達和計算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及平行截面面積為已知的立體體積）及函數(shù)的平均值。
（四）多元函數(shù)微積分學(xué)

考試內(nèi)容

多元函數(shù)的概念；二元函數(shù)的幾何意義；二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念；有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分；全微分存在的必要條件和充分條件；多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法；二階偏導(dǎo)數(shù)；多元函數(shù)的極值和條件極值、最大值、最小值及二重積分的概念、基本性質(zhì)和計算

考試要求

1.了解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義。

2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

3.了解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會求多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，會求全微分，了解隱含數(shù)存在定理，會求多元隱含數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。

4.了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格郎日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應(yīng)用問題。

5.了解二重積分的概念和基本性質(zhì)，掌握二重積分的計算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）。

（五）常微分方程

考試內(nèi)容

常微分方程的基本概念；變量可分離的微分方程；齊次微分方程；一階線性微分方程；可降階的高階微分方程；線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；二階常系數(shù)齊次線性微分方程；簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；微分方程的簡單應(yīng)用。

考試要求

了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。
掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法，會解齊次微分方程。
會用降階法解下列形式的微分方程：。
理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)。
掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，會解簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。
會用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題。
線性代數(shù)

（六）行列式

考試內(nèi)容

行列式的概念和基本性質(zhì)；行列式按行（列）展開定理

考試要求

1.了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)。

2.會應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開定理計算行列式。

（七）矩陣

考試內(nèi)容

矩陣的概念；矩陣的線性運算；矩陣的乘法；方陣的冪；方陣乘積的行列式；矩陣的轉(zhuǎn)置；逆矩陣的概念和性質(zhì)；矩陣可逆的充分必要條件；伴隨矩陣；矩陣的初等變換；初等矩陣；矩陣的秩；矩陣的等價；分塊矩陣及其運算。

考試要求

1.理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣以及它們的性質(zhì)。

2.掌握矩陣的線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì)。

3.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。

4.理解矩陣初等變換的概念，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。

5.了解分塊矩陣及其運算。

（八）向量

考試內(nèi)容

向量的概念；向量的線性組合和線性表示；向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)；向量組的極大線性無關(guān)組；等價向量組；向量組的秩；向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系；向量的內(nèi)積。

考試要求

1.理解n維向量、向量的線性組合與線性表示的概念。

2.理解向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念，掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判定。

3.了解向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關(guān)組及秩。

4.了解向量組等價的概念，了解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩之間的關(guān)系。

5.了解內(nèi)積的概念。

（九）線性方程組

考試內(nèi)容

線性方程組的克萊姆（Cramer）法則；齊次線性方程組有非零解的充分必要條件；非齊次線性方程組有解的充分必要條件；線性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)；齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解；非齊次線性方程組的通解。

考試要求

1.會用克萊姆法則。

2.理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。

3.理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法。

4.理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念。

5.掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。

（十）矩陣的特征值和特征向量

考試內(nèi)容

矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)；相似變換、相似矩陣的概念及性質(zhì)；矩陣可對角化的充分必要條件；實對稱矩陣的特征值、特征向量及其對角化。

考試要求

1.理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，會求矩陣的特征值和特征向量。

2.理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣可對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為對角矩陣的方法。

3.掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)。

（十一）二次型

考試內(nèi)容

二次型及其矩陣表示；合同變換與合同矩陣；二次型的秩；慣性定理；二次型的標(biāo)準形和規(guī)范形；用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準形；二次型及其矩陣的正定性。

考試要求

1．了解二次型及其矩陣表示，了解二次型軼的概念，了解合同變換和合同矩陣的概念，了解二次型的標(biāo)準形、規(guī)范形的概念以及慣性定理。

2．了解用正交變換二次型為標(biāo)準形的方法，會用配方法化二次型為標(biāo)準形。

3．理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法。

三、考試方式及時間

考試方式為筆試，時間為3小時，滿分150分。

四、試卷結(jié)構(gòu)

（一）微積分與線性代數(shù)所占比例

微積分約占總分的70％，線性代數(shù)約占總分的30％。

（二）試卷的結(jié)構(gòu)

1、計算或解答題：占總分的85％左右。覆蓋本門課程的基本概念和各部分的計算題、應(yīng)用題。

2、證明題：占總分的15％左右。

每年的試卷結(jié)構(gòu)會有稍許變化，學(xué)校不另行通知，以當(dāng)年的試卷為準。

五、參考書

1、《高等數(shù)學(xué)》（第五版，上下冊）同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室，高等教育出版社；

2、《線性代數(shù)》（第三版）同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教