2012年考研數學線性代數學科特點及復習建議

考研數學來源：中國考研網 2011-10-14　

從今年的考綱來看，2012年的考生不會有任何復習范圍的調整之憂，可以按照自己原來的計劃進行下去，那么接下來如何復習就成為考生關注的焦點.為了幫助考生有效地進行考研復習，數學考研輔導專家們就為廣大的2012年的考生們提供以下考研數學線性代數部分的特點及復習建議.

線性代數，相對高數來說，是比較簡單的學科.但是考生的得分不是很理想.這主要是沒有掌握住線性代數的特點:內容抽象；概念多，性質多；內容縱橫交錯，前后聯系緊密，環環相扣，相互滲透.

一、內容抽象，尤其向量部分最為典型.在現實生活中，我們可以看到一維空間、二維空間甚至是三維空間，但是對于維空間我們是難以想象的.向量主要研究的就是維向量，所以這就需要較強的抽象思維和邏輯推理能力.這一點對于側重于計算能力培養的工科學生來說是一個難點.因此在學習的過程中，對所涉及的基本概念應當先理解好它們的定義，在理解基礎之上，才能深刻理解它們與其他概念的聯系以及它們的作用，一步步達到運用自如的境地.

二、概念多，性質多，定義多，定理多.例如有關矩陣的，就有相似矩陣、合同矩陣、正定矩陣、正交矩陣、伴隨矩陣等.在向量這部分，向量組線性相關的性質就10來個.

三、符號多，運算法則多，有些運算法則與以前的完全不同.

正如《2012年全國碩士研究生入學統一考試數學考試大綱配套強化指導》第二篇線性代數部分所說的，對于數的運算我們滿足交換律、結合律和消去律；但是矩陣的運算與之有相同的也有不同的，矩陣的運算不滿足交換律和消去律，但是滿足結合律.所以這些在復習的時候一定要注意區分.

四、內容縱橫交錯，前后聯系緊密，環環相扣，相互滲透.

線性代數內容之間的聯系是比較緊密的.相對高數來說，它們的聯系又是非常隱蔽的.以可逆矩陣為例，階矩陣是可逆的，從行列式的角度有其等價說法，就是階矩陣的行列式不等于0；從矩陣的角度它的等價說法是矩陣的秩等于階數；從向量的角度描述，就是矩陣的行向量組是線性無關的，同時列向量組也是線性無關的，并且任何一個維列（行）向量都可以由該矩陣的列（行）向量組來線性表示；從特征值的角度描述，就是矩陣的特征值都是非零的.詳見《2012年全國碩士研究生入學統一考試數學考試大綱配套強化指導》第二篇線性代數部分.可逆矩陣這個知識點在線性代數的各章節之間都有其等價說法，所以在復習整個線性代數時，要不斷的歸納總結，找出它們之間的聯系.也正是由于線性代數具有這樣的特點，這就給綜合命題創造了條件.

因此在學習的過程中，對所涉及的概念、性質及定理要理解，同時很多東西還要靠記憶，尤其要注意基本概念、基本方法之間的相互關系，有些問題是相互交錯，相互滲透，似螺旋上升，比如矩陣的秩與向量組的秩、線性方程組與向量組的線性組合、線性相關之間的關系.弄清這些關系，一方面可對所涉及的概念通過不斷重復而達到加深印象的目的，另一方面也能對問題有進一步的深入理解.

針對線性代數的這些特點，數學考研輔導老師們建議2012年的考生們在復習過程中綜合掌握一條主線，兩種運算，三個工具.這條主線就是解線性方程組.線性方程組是線性代數的主線，也是考試的重點.在求解線性方程組時主要涉及兩種運算：求行列式、矩陣的初等行（列）變換.要把握行列式與矩陣之間的區別和聯系，在進行運算的過程中保證計算的準確和速度.那三個工具就是行列式、矩陣、向量，他們貫穿整個線性代數的始終.

從2011年數學考試情況來看，有很多考生表現出了很高的數學造詣和較強的數學能力，但整體得分較低，說明考生的基礎還不夠扎實，學習和復習中還存在一些問題.

首先是推理論證能力沒有達到要求，其次是分析問題和解決問題的能力有一定的差距，特別是處理應用題和證明題的能力.考生對常見的試題類型和知識點得分情況較好，對大綱中要求的但在以前考試中出現頻率低的試題和內容，特別是一些立意和形式新穎的試題，得分情況就不好，說明考生知識掌握的不夠全面，有應試傾向，不利于考生能力的全面發展.提醒同學們還要注意綜合題目，因為在教學中，各部分內容是單獨講的，綜合訓練的時間較少，而研究生考試更多是多個知識點聯系在一起，要徹底理清各章的關系和各個知識點的聯系，綜合應用知識解決問題.另外運算能力不過關，會而不全，算而不對的情況在試卷中很常見，線性方程組解錯、特征值和特征向量算錯等，這也是考生在學習和復習中應著力解決的問題，計算認真是一項重要的任務。