2012考研數學復習重點與典型題型

考研數學來源：中國考研網 2011-11-15　

近年來考研數學試題難度比較大，平均分比較低，而高等數學又是考研數學的重中之重，如何備考高等數學已經成為廣大考生普遍關心的重要問題，要特別注意以下三個方面。

第一，按照大綱對數學基本概念、基本方法、基本定理準確把握(也即三基的重要性務必引起重視)。數學是一門邏輯學科，靠僥幸押題是行不通的。只有對基本概念有深入理解，對基本定理和公式牢牢記住，才能找到解題的突破口和切入點。分析近幾年考生的數學答卷可以發現，考生失分的一個重要原因就是對基本概念、定理理解不準確，數學中最基本的方法掌握不好，給解題帶來思維上的困難。

第二，要加強解綜合性試題和應用題能力的訓練，力求在解題思路上有所突破。在解綜合題時，迅速地找到解題的切入點是關鍵一步，為此需要熟悉規范的解題思路，考生應能夠看出面前的題目與他曾經見到過的題目的內在聯系。為此必須在復習備考時對所學知識進行重組，搞清有關知識的縱向與橫向聯系，轉化為自己真正掌握的東西。解應用題的一般步驟都是認真理解題意，建立相關數學模型，如微分方程、函數關系、條件極值等，將其化為某數學問題求解。建立數學模型時，一般要用到幾何知識、物理力學知識和經濟學術語等。

第三，重視歷年試題的強化訓練。統計表明，每年的研究生入學考試高等數學內容較之前幾年都有較大的重復率，近年試題與往年考題雷同的占50%左右，這些考題或者改變某一數字，或改變一種說法，但解題的思路和所用到的知識點幾乎一樣。通過對考研的試題類型、特點、思路進行系統的歸納總結，并做一定數量習題，有意識地重點解決解題思路問題。對于那些具有很強的典型性、靈活性、啟發性和綜合性的題，要特別注重解題思路和技巧的培養。盡管試題千變萬化，其知識結構基本相同，題型相對固定。提練題型的目的，是為了提高解題的針對性，形成思維定勢，進而提高考生解題的速度和準確性。

下面以數學一為主總結一下高數各部分常見題型。

一、函數、極限與連續

求分段函數的復合函數；求極限或已知極限確定原式中的常數；討論函數的連續性，判斷間斷點的類型；無窮小階的比較；討論連續函數在給定區間上零點的個數，或確定方程在給定區間上有無實根。

二、一元函數微分學

求給定函數的導數與微分(包括高階導數)，隱函數和由參數方程所確定的函數求導，特別是分段函數和帶有絕對值的函數可導性的討論；利用洛比達法則求不定式極限；討論函數極值，方程的根，證明函數不等式；利用羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理證明有關命題，如“證明在開區間內至少存在一點滿足....。.”，此類問題證明經常需要構造輔助函數；幾何、物理、經濟等方面的最大值、最小值應用問題，解這類問題，主要是確定目標函數和約束條件，判定所討論區間；利用導數研究函數性態和描繪函數圖形，求曲線漸近線。

三、一元函數積分學

計算題：計算不定積分、定積分及廣義積分；關于變上限積分的題：如求導、求極限等；有關積分中值定理和積分性質的證明題；定積分應用題：計算面積，旋轉體體積，平面曲線弧長，旋轉面面積，壓力，引力，變力作功等；綜合性試題。(注；高數中解答題的最后一步往往是求解一個積分，故積分的各種求解方法務必熟練再熟練！)

四、向量代數和空間解析幾何

計算題：求向量的數量積，向量積及混合積；求直線方程，平面方程；判定平面與直線間平行、垂直的關系，求夾角；建立旋轉面的方程；與多元函數微分學在幾何上的應用或與線性代數相關聯的題目。此題型考研中占的分值較少，且若考的話直接考查概念。

五、多元函數的微分學

判定一個二元函數在一點是否連續，偏導數是否存在、是否可微，偏導數是否連續；求多元函數(特別是含有抽象函數)的一階、二階偏導數，求隱函數的一階、二階偏導數；求二元、三元函數的方向導數和梯度；求曲面的切平面和法線，求空間曲線的切線與法平面，該類型題是多元函數的微分學與前面向量代數與空間解析幾何的綜合題，應結合起來復習；多元函數的極值或條件極值在幾何、物理與經濟上的應用題；求一個二元連續函數在一個有界平面區域上的最大值和最小值。這部分應用題多要用到其他領域的知識，考生在復習時要引起注意。

六、多元函數的積分學

二重、三重積分在各種坐標下的計算，累次積分交換次序；第一型曲線積分、曲面積分計算；第二型(對坐標)曲線積分的計算，格林公式，斯托克斯公式及其應用；第二型(對坐標)曲面積分的計算，高斯公式及其應用；梯度、散度、旋度的綜合計算；重積分，線面積分應用；求面積，體積，重量，重心，引力，變力作功等。數學一考生對這部分內容和題型要引起足夠的重視。每年會有一道解答題出現！

七、無窮級數

判定數項級數的收斂、發散、絕對收斂、條件收斂；求冪級數的收斂半徑，收斂域；求冪級數的和函數或求數項級數的和；將函數展開為冪級數(包括寫出收斂域)；將函數展開為傅立葉級數，或已給出傅立葉級數，要確定其在某點的和(通常要用狄里克雷定理)；綜合證明題。

八、微分方程

求典型類型的一階微分方程的通解或特解：這類問題首先是判別方程類型，當然，有些方程不直接屬于我們學過的類型，此時常用的方法是將x與y對調或作適當的變量代換，把原方程化為我們學過的類型；求解可降階方程；求線性常系數齊次和非齊次方程的特解或通解；根據實際問題或給定的條件建立微分方程并求解；綜合題，常見的是以下內容的綜合：變上限定積分，變積分域的重積分，線積分與路徑無關，全微分的充要條件，偏導數等。

總之，對考生來說，要想在數學考試中取得好成績，必須認真系統地按照各類考試大綱的要求全面復習，掌握數學的基本概念、基本方法和基本定理。平時注意抓題型的解決方法和技巧，不斷總結。最后按規定時間做幾份模擬題，了解一下究竟掌握到什么程度，同時知道薄弱環節，抓緊時間補上。如果考生能夠通過做題，將遇到的各種題進行延伸或變式，做到融會貫通，一定會取得好的成績。數學的學習要做到一步一個腳印，步步為營才能取得理想中的成績，未來是屬于我們的也是屬于你們的，但歸根結底還是屬于你們的！沖刺班和點睛班最好報。