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• 上海大學(xué)2026考研專業(yè)課復(fù)習(xí)資料「真題▪筆記▪講義▪題庫」

考試科目：811高等代數(shù)

一、復(fù)習(xí)要求：

要求考生熟練掌握高等代數(shù)的基本理論以及常用的技巧和方法，能夠熟練地綜合運(yùn)用高等代數(shù)的理論和方法去求解和證明有關(guān)問題

二、主要復(fù)習(xí)內(nèi)容：

1. 行列式

行列式的定義、性質(zhì)和常用計算方法(如：三角化法、加邊法、降階法、遞推法、裂項(xiàng)法、范得蒙行列式法、數(shù)學(xué)歸納法、作輔助行列式法)。

重點(diǎn)：n階行列式的計算。

2. 矩陣?yán)碚?/p>

矩陣的運(yùn)算，分塊矩陣的初等變換與矩陣的秩，可逆矩陣與伴隨矩陣，矩陣的三種等價關(guān)系(等價、合同、相似)，矩陣的特征值和特征向量，矩陣的跡，矩陣的最小多項(xiàng)式，矩陣的對角化，矩陣的常用分解(如：等價分解，滿秩分解，實(shí)對稱矩陣的正交相似分解，實(shí)可逆陣的正交三角分解，Jordan分解)，幾種特殊矩陣的常用性質(zhì)(如：準(zhǔn)對角陣，對稱陣與反對稱陣，冪等陣，冪零陣，對合陣，正交陣)。

重點(diǎn)：利用分塊矩陣的初等變換證明有關(guān)矩陣秩的等式與不等式，矩陣的逆與伴隨矩陣的性質(zhì)與求法，矩陣的三種等價關(guān)系的關(guān)系，矩陣對角化的判斷(特別是多個矩陣的同時對角化問題)和證明，矩陣分解的證明及應(yīng)用(特別是實(shí)對稱矩陣的正交相似分解，Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的計算與有關(guān)證明)。

3. 線性方程組

Cramer法則，齊次線性方程組有非零解的充要條件及基礎(chǔ)解系的求法和有關(guān)證明，非齊次線性方程組的解法和解的結(jié)構(gòu)。

重點(diǎn)：非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)與其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系的有關(guān)證明。特殊方程組求解。

4.多項(xiàng)式理論

多項(xiàng)式的整除，最大公因式與最小公倍式，多項(xiàng)式的互素，不可約多項(xiàng)式與因式分解，多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根。

重點(diǎn)：運(yùn)用多項(xiàng)式理論證明有關(guān)問題，如多項(xiàng)式的互素和不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)的有關(guān)證明與應(yīng)用;重要定理的證明，如因式分解唯一性定理，Eisenstein判別法，Gauss引理等，不可約多項(xiàng)式的證明。

5.二次型理論

二次型線性空間與對稱矩陣空間同構(gòu)，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形和正規(guī)形，Sylvester慣性定律，正定、半正定、負(fù)定、半負(fù)定及不定二次型的定義和性質(zhì)，正定矩陣的一些重要結(jié)論及其應(yīng)用。

重點(diǎn)：正定和半正定矩陣的有關(guān)證明，n級方陣按合同關(guān)系的分類問題，實(shí)對稱矩陣有關(guān)證明。

6. 線性空間與歐氏空間

線性空間的定義，向量組的線性關(guān)系(線性相關(guān)與線性無關(guān)，向量組的等價，極大線性無關(guān)組的求法，替換定理)，基與擴(kuò)充基定理，維數(shù)公式，坐標(biāo)變換，基變換與坐標(biāo)變換，生成子空間，子空間的交與和(包括直和)，內(nèi)積和歐氏空間的定義及簡單性質(zhì)，子空間的正交補(bǔ)，度量矩陣與標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法以及性質(zhì)的證明和應(yīng)用，線性空間的同構(gòu)。

重點(diǎn)：向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的綜合證明，判斷一個向量是否由一組向量表示及如何表示，求向量組的極大無關(guān)組并用之表示其余向量，維數(shù)公式的證明及應(yīng)用，特別是子空間直和的有關(guān)證明，標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法及其性質(zhì)的有關(guān)證明。

7. 線性變換

線性變換的定義、運(yùn)算與矩陣，線性變換的核與值域，不變子空間，線性變換的特征根與特征向量，特征子空間，線性變換的對角化，正交變換、對稱變換與反對稱變換，線性變換與其矩陣對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用以及其特征值、特征向量等有關(guān)性質(zhì)。

重點(diǎn)：線性變換與其矩陣對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用，線性變換的對角化，線性變換的核與值域。

正交變換、對稱變換與反對稱變換有關(guān)的證明。最小多項(xiàng)式和對角化的關(guān)系。