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《近世代數基礎》大綱要點

第一章基本概念

1、理解集合、映射、一一映射、滿射、單射的概念;掌握代數運算與映射的關系，能判斷給定的運算能否滿足結合律、交換律以及兩種分配律。

2、掌握同態映射、同構映射和自同構的概念，能判定映射是否是同態與同構映射，能建立兩個集合之間的同態與同構映射。

3、理解關系和等價關系的概念，掌握等價關系和分類之間的轉換定理，能熟練判定給定的關系是否是等價關系，并熟悉剩余類的基本特性。

重點掌握——代數運算、變換、同態、同構、自同構概念，理解等價關系與集合分類之間的關系。

第二章群論

1、理解群的幾種不同定義，理解左、右單位元與左、右逆元的意義，掌握群的階和交換群的概念;會計算群元素的周期。

2、理解群同構、同態的定義，掌握群同態的有關性質;掌握循環群的定義和由生成元決定循環群的性質與特點，熟練掌握剩余類加群。

3、熟練掌握變換的符號運用和變換乘法，了解變換群的定義、性質;理解置換與置換群的定義、性質與運算，理解有限群與置換群的同構關系;理解子群的定義與判定。

4、掌握陪集的定義;理解不變子群與商群的定義;理商群階的意義及其應用;了解核的定義;掌握兩個具有同態關系的群之間子群或不變子群的象的性質。

重點掌握——群的幾種不同定義;變換群、置換群、循環群的結構;深刻理解子群、不變子群、商群、同態、同構等概念及它們之間的相互關系。

第三章環與域

1、熟悉環的定義與環的計算規則;熟悉單位元、逆元和零因子的性質;掌握消去律與零因子的關系;理解交換環、有單位元環、無零因子環、整環、除環、域的定義以及除環與加群、乘群的關系;熟悉無零因子環中的計算規則，掌握無零因子環中特征的性質。

2、了解子環、子除環的定義;了解同態、同構環之間的性質;了解多項式環，熟悉多項式環中的未定元、次數以及系數、無關未定元的作用。

3、理解理想子環、零理想、單位理想和主理想的構成與判斷;理解剩余類環的定義與性質;了解在同態映射下兩個環相互之間的關系，理解什么是最大理想;了解商域的構成。

重點掌握——環、理想、最大理想等概念;掌握多項式環、無零因子環、環的特征等概念，并能熟練地加以應用。

第四章整環里的因子分解

1、了解整除，單位、相伴元和平凡因子、真因子、素元的概念;掌握唯一分解的定義、性質以及公因子、最大公因子的概念;了解互素的概念;理解判別唯一分解環的方法。

2、理解主理想環、歐氏環的定義;理解歐氏環、整數環、主理想環與唯一分解環的關系;知道本原多項式的定義與性質;了解多項式的根和性質。

重點掌握——環里的因子分解、熟練掌握唯一分解環、主理想環、歐氏環。

參考教材

1、張禾瑞，《近世代數基礎》，人民教育出版社，1978年修訂本。

2、吳品三，《近世代數》，人民教育出版社，1979年。