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重慶交通大學(xué)2019年全國碩士研究生招生考試

《高等數(shù)學(xué)》考試大綱

考試總體要求：

《高等數(shù)學(xué)》課程考試旨在考察學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的基本概念、基本理論、基本方法的掌握程度。主要內(nèi)容有一元函數(shù)微積分，多元函數(shù)微積分以及級(jí)數(shù)等內(nèi)容。要求學(xué)生在《高等數(shù)學(xué)》方面具有較強(qiáng)運(yùn)算能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)某橄笏季S能力以及利用基本知識(shí)處理實(shí)際問題的綜合應(yīng)用能力。

考試范圍

1.函數(shù)與極限

(1) 數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)

(2) 函數(shù)的左極限和右極限，函數(shù)極限存在與左極限、右極限之間的關(guān)系.

(3) 無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系,無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較.

(4) 極限的性質(zhì)及極限運(yùn)算法則.

(5) 極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則:單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則,并會(huì)利用它們求極限，利用兩個(gè)重要極限求數(shù)列極限與函數(shù)的極限.

(6) 利用等價(jià)無窮小量求極限.

(7) 函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù))，會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.

(8) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).

2.導(dǎo)數(shù)與微分

(1) 導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求平面曲線的切線方程和法線方程，函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系.

(2) 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

(3) 高階導(dǎo)數(shù)的概念，求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).

(5) 分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

3.微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(1) 羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理.

(2) 用洛必達(dá)法則求未定式的極限.

(3) 函數(shù)的極值概念，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的極值，函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用.

(4) 用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線.

(5) 曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲線的曲率和曲率半徑.

4.一元函數(shù)積分學(xué)

(1)不定積分和定積分的概念.

(2)不定積分的基本公式，不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，換元積分法與分部積分法.

(3) 有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分.

(4) 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，牛頓-萊布尼茨公式.

(5) 平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積、平面沿直線所做的功、水壓力.

5.向量代數(shù)和空間解析幾何

(1)向量的概念及其表示.

(2)向量的運(yùn)算(線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積)，兩個(gè)向量垂直、平行的條件.

(3) 單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式， 利用坐標(biāo)進(jìn)行向量運(yùn)算.

(4) 求平面的方程和直線的方程.

(5)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并利用平面、直線的相互關(guān)系(平行、垂直、相交等))解決有關(guān)問題.

(6) 求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離.

(7) 曲面方程和空間曲線方程的概念.

(8) 空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，求該投影曲線的方程.

6.多元函數(shù)微分學(xué)

(1) 多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的幾何意義.

(2) 二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).

(3)多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，全微分存在的必要條件和充分條件，全微分形式的不變性.

(4)方向?qū)��?shù)與梯度的概念及其計(jì)算方法.

(5) 多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法.

(6) 多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).

(7) 空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程.

(8) 多元函數(shù)極值和條件極值的概念，多元函數(shù)極值存在的必要條件，二元函數(shù)極值存在的充分條件，二元函數(shù)的極值，拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題.

7.多元函數(shù)積分學(xué)

(1) 二重積分、三重積分的概念，重積分的性質(zhì)，二重積分的中值定理.

(2)二重積分的計(jì)算(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))，三重積分的計(jì)算(直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)).

(3) 兩類曲線積分的概念，兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系.

(4)兩類曲線積分的計(jì)算法.

(5) 格林公式,平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，二元函數(shù)全微分的原函數(shù).

(6) 兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，計(jì)算兩類曲面積分的方法，

(7) 用高斯公式計(jì)算曲面積分.

(8) 用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質(zhì)量、質(zhì)心、形心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等).

8、無窮級(jí)數(shù)

(1) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì).

(2) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別法.

(3) 交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法.

(4) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系.

(5) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念.

(6) 冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法.

(7) 冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的重要性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分)，一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.

(8)幾類常用的基本初等函數(shù)的麥克勞林(Maclaurin)展開式，用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開為冪級(jí)數(shù).

二、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

(一)考試形式

考試形式為筆試和閉卷，考試時(shí)間為3小時(shí)，滿分為150分。

(二)試卷結(jié)構(gòu)

1. 計(jì)算題(100分)

2. 應(yīng)用題(30分)

3. 證明題(20分)

三、主要參考書目

1.《高等數(shù)學(xué)》(第七版), 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系, 高等教育出版社, 2014年.