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中國(guó)科學(xué)院大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試

《量子力學(xué)》考試大綱

本《量子力學(xué)》考試大綱適用于中國(guó)科學(xué)院大學(xué)物理學(xué)相關(guān)各專(zhuān)業(yè)(包括理論與實(shí)驗(yàn)類(lèi))碩士研究生的入學(xué)考試。本科目考試的重點(diǎn)是要求熟練掌握波函數(shù)的物理解釋?zhuān)�薛定諤方程的建立、基本性質(zhì)和精確的以及一些重要的近似求解方法，理解這些解的物理意義，熟悉其實(shí)際的應(yīng)用。掌握量子力學(xué)中一些特殊的現(xiàn)象和問(wèn)題的處理方法，包括力學(xué)量的算符表示、對(duì)易關(guān)系、不確定度關(guān)系、態(tài)和力學(xué)量的表象、電子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子躍遷及光的發(fā)射與吸收的半經(jīng)典處理方法等，并具有綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

一. 考試內(nèi)容：

(一) 波函數(shù)和薛定諤方程

波粒二象性，量子現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)證實(shí)。波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋?zhuān)�薛定諤方程，連續(xù)性方程， 波包的演化。能量本征值方程，定態(tài)與非定態(tài)。態(tài)疊加原理，測(cè)量與波包的塌縮。

(二) 一維勢(shì)場(chǎng)中的粒子

一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)，一維方勢(shì)阱的束縛態(tài)，方勢(shì)壘的穿透，方勢(shì)阱中的反射、透射與共振。 d-勢(shì)的穿透和d-勢(shì)阱中的束縛態(tài)，一維諧振子。

(三) 力學(xué)量用算符表示

各種算符的定義及算符的運(yùn)算規(guī)則。 厄米算符的本征值與本征函數(shù)。不確定關(guān)系，共同本征函數(shù)，對(duì)易力學(xué)量的完全集。箱歸一化，連續(xù)本征函數(shù)的歸一化。力學(xué)量平均值隨時(shí)間的演化，量子力學(xué)的守恒量。波包的運(yùn)動(dòng)，Ehrenfest 定理。薛定諤-圖像與海森伯-圖像。

(四) 中心力場(chǎng)和電磁場(chǎng)中粒子的運(yùn)動(dòng)

兩體問(wèn)題化為單體問(wèn)題，球?qū)ΨQ勢(shì)和徑向方程，自由粒子和球形方勢(shì)阱，三維諧振子，氫原子及類(lèi)氫離子。電磁場(chǎng)中的薛定諤方程，電磁場(chǎng)的規(guī)范不變性。正常Zeeman效應(yīng)，Landau能級(jí)。

(五) 量子力學(xué)的矩陣表示與表象變換

態(tài)和算符的矩陣表示，表象變換，狄拉克符號(hào)，一維諧振子的占有數(shù)表象。

(六) 自旋及角動(dòng)量的耦合

電子自旋態(tài)與自旋算符，總角動(dòng)量的本征態(tài)，堿金屬原子光譜的雙線結(jié)構(gòu)與反常塞曼效應(yīng)，自旋單態(tài)與三重態(tài)，光譜線的精細(xì)和超精細(xì)結(jié)構(gòu)，自旋糾纏態(tài)。角動(dòng)量的本征值與本征態(tài)，兩個(gè)角動(dòng)量的耦合，耦合表象及無(wú)耦合表象基矢。

(七) 定態(tài)問(wèn)題的近似方法

定態(tài)非簡(jiǎn)并微擾輪，定態(tài)簡(jiǎn)并微擾輪，變分法。

(八) 量子躍遷

量子態(tài)隨時(shí)間的演化，突發(fā)微擾與絕熱微擾， 周期微擾和有限時(shí)間內(nèi)的常微擾，光的吸收與輻射的半經(jīng)典理論。

(九) 多體問(wèn)題

全同粒子系統(tǒng)，氦原子，氫分子。

二.考試要求：

(一)波函數(shù)和薛定諤方程

1.了解波粒二象性假設(shè)的物理意義及其主要實(shí)驗(yàn)事實(shí)。

2.熟練掌握波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件：有限性、連續(xù)性和單值性。深入理解波函數(shù)的概率解釋。

3.理解態(tài)疊加原理以及任何波函數(shù)按不同動(dòng)量的平面波展開(kāi)的方法及其物理意義。

4.熟練掌握薛定諤方程的建立過(guò)程。深入了解定態(tài)薛定諤方程，定態(tài)與非定態(tài)波函數(shù)的意義及相互關(guān)系。了解連續(xù)性方程的推導(dǎo)及其物理意義。

(二)一維勢(shì)場(chǎng)中的粒子

1.熟練掌握一維薛定諤方程邊界條件的確定和處理方法。

2.熟練掌握一維無(wú)限深方勢(shì)阱的求解方法及其物理討論，掌握一維有限深方勢(shì)阱束縛態(tài)問(wèn)題的求解方法。

3.熟練掌握勢(shì)壘貫穿的求解方法及隧道效應(yīng)的解釋。掌握一維有限深方勢(shì)阱的反射、透射的處理方法及共振現(xiàn)象的發(fā)生。

4.熟練掌握一維諧振子的能譜及其定態(tài)波函數(shù)的一般特點(diǎn)及其應(yīng)用。

5.了解d--函數(shù)勢(shì)的處理方法。

( 三)力學(xué)量用算符表示

1. 掌握算符的本征值和本征方程的基本概念。

2.熟練掌握厄米算符的基本性質(zhì)及相關(guān)的定理。

3.熟練掌握坐標(biāo)算符、動(dòng)量算符以及角動(dòng)量算符，包括定義式、相關(guān)的對(duì)易關(guān)系及本征值和本征函數(shù)。

4.熟練掌握力學(xué)量取值的概率及平均值的計(jì)算方法。理解兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)具有確定值的條件和共同本征函數(shù)。

5.熟練掌握不確定度關(guān)系的形式、物理意義及其一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用。

6.理解力學(xué)量平均值隨時(shí)間變化的規(guī)律。掌握如何根據(jù)哈密頓算符來(lái)判斷該體系的守恒量。

(四)中心力場(chǎng)

1.熟練掌握兩體問(wèn)題化為單體問(wèn)題及分離變量法求解三維庫(kù)侖勢(shì)問(wèn)題。

2.熟練掌握氫原子和類(lèi)氫離子的能譜及基態(tài)波函數(shù)以及相關(guān)的物理量的計(jì)算。

3.了解球形無(wú)窮深方勢(shì)阱及三維各向同性諧振子的基本處理方法。

(五) 量子力學(xué)的矩陣表示與表象變換

1.理解力學(xué)量所對(duì)應(yīng)的算符在具體表象的矩陣表示。

2.了解表象之間幺正變換的意義和基本性質(zhì)。

3.掌握量子力學(xué)公式的矩陣形式及求解本征值、本征矢的矩陣方法。

4.了解狄拉克符號(hào)的意義及基本應(yīng)用。

5.熟練掌握一維簡(jiǎn)諧振子的代數(shù)解法和占有數(shù)表象。

(六) 自旋

1.了解斯特恩—蓋拉赫實(shí)驗(yàn)。電子自旋回轉(zhuǎn)磁比率與軌道回轉(zhuǎn)磁比率。

2.熟練掌握自旋算符的對(duì)易關(guān)系和自旋算符的矩陣形式(泡利矩陣)、與自旋相聯(lián)系的測(cè)量值、概率和平均值等的計(jì)算以及其本征值方程和本征矢的求解方法。

3.了解電磁場(chǎng)中的薛定諤方程和簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng)的物理機(jī)制。

4.了解自旋-軌道藕合的概念、總角動(dòng)量本征態(tài)的求解及堿金屬原子光譜的精細(xì)和超精細(xì)結(jié)構(gòu)。

5. 熟練掌握自旋單態(tài)與三重態(tài)求解方法及物理意義，了解自旋糾纏態(tài)概念。

(七)定態(tài)問(wèn)題的近似方法

1.了解定態(tài)微擾論的適用范圍和條件。

2.掌握非簡(jiǎn)并的定態(tài)微擾論中波函數(shù)一級(jí)修正和能級(jí)一級(jí)、二級(jí)修正的計(jì)算。

3.掌握簡(jiǎn)并微擾論零級(jí)波函數(shù)的確定和一級(jí)能量修正的計(jì)算。

4.掌握變分法的基本應(yīng)用。

(八)量子躍遷

1.了解量子態(tài)隨時(shí)間演化的基本處理方法。掌握量子躍遷的基本概念。

2.了解突發(fā)微擾、絕熱微擾及周期微擾和有限時(shí)間內(nèi)的常微擾的躍遷概率計(jì)算方法。

3.了解光的吸收與輻射的半經(jīng)典理論，特別是選擇定則的定義及其作用。

4.了解氫原子一級(jí)斯塔克效應(yīng)及其解釋。

(九)多體問(wèn)題

1.了解量子力學(xué)全同性原理及其對(duì)于多體系統(tǒng)波函數(shù)的限制。

2.了解費(fèi)米子和波色子的基本性質(zhì)和泡利原理。

3.了解氦原子及氫分子的基本近似求解方法以及解的物理討論。

三.主要參考書(shū)目：

《量子力學(xué)教程 》 曾謹(jǐn)言著(科學(xué)出版社 2003年第1版)。