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中國科學院大學碩士研究生入學考試

《概率論與數理統計》考試大綱

本《概率論與數理統計》考試大綱適用于中國科學院大學非數學類的碩士研究生入學考試。概率統計是現代數學的重要分支，在物理、化學、生物、計算機科學等學科有著廣泛的應用。考試的主要內容有以下幾個部分：

概率統計中的基本概念

隨機變量及其分布

隨機變量的數學特征及特征函數

獨立隨機變量和的中心極限定理及大數定律

假設檢驗

點估計及區間估計

簡單線性回歸模型

要求考生對基本概念有深入的理解，能計算一些常見分布的期望、方差，了解假設檢驗、點估計及區間估計的統計意義，能解決一些經典模型的檢驗問題、區間估計及點估計。最后，能理解大數定律及中心極限定理。

一、 考試內容

(一) 基本概念

1. 樣本、樣本觀測值

2. 統計數據的直觀描述方法：如干葉法、直方圖

3. 統計數據的數字描述：樣本均值、樣本方差、中位數事件的獨立性、樣本空間、事件

4. 概率、條件概率、Bayes公式

5. 古典概型

(二) 離散隨機變量

1. 離散隨機變量的定義

2. 經典的離散隨機變量的分布

a. 二項分布

b. 幾何分布

c. 泊松分布

d. 超幾何分布

3. 離散隨機變量的期望、公差

4. 離散隨機變量的特征函數

5. 離散隨機變量相互獨立的概念

6. 二維離散隨機變量的聯合分布、條件分布、邊緣分布及二個離散隨機變量的相關系數

(三) 連續隨機變量

1. 連續隨機變量的概念

2. 密度函數

3. 分布函數

4. 常見的連續分布

a. 正態分布

b. 指數分布

c. 均勻分布

d. t分布

e. c2分布

5. 連續隨機變量的期望、方差

6. 連續隨機變量獨立的定義

7. 二維連續隨機變量的聯合密度、條件密度、邊緣分布及二個連續隨機變量的相關系數

8. 連續隨機變量的特征函數

(四) 獨立隨機變量和的中心極限定理和大數定律

1. 依概率收斂

2. 以概率1收斂(或幾乎處處收斂)

3. 依分布收斂

4. 伯努利大數定律

5. 利莫弗-拉普拉斯中心極限定理

6. 辛欽大數定律

7. 萊維-林德伯格中心極限定理

(五) 點估計

1. 無偏估計，克拉美-勞不等式

2. 矩估計

3. 極大似然估計

(六) 區間估計

1. 置信區間的概念

2. 一個正態總體的期望的置信區間

3. 大樣本區間估計

4. 兩個正態總體期望之差的置信區間(方差已知)

(七) 假設檢驗

1. 檢驗問題的基本要素：第一類錯誤的概率、第二類錯誤的概率、檢驗的功效、功效函數、檢驗的拒絕域、原假設、備擇假設

2. 一個正態總體的期望的檢驗問題

3. 大樣本檢驗

4. 基于成對數據的檢驗(t檢驗)

5. 兩個正態總體期望之差的檢驗

(八) 簡單線性回歸模型

1. 簡單線性回歸模型定義

2. 回歸線的斜率的最小二乘估計

3. 回歸線的截距的最小二乘估計

4. 隨機誤差(隨機標準差)的估計

二、 考試要求

(一) 基本概念

1. 理解樣本、樣本觀測值的概念

2. 了解并能運用統計數據的直觀描述方法如：干葉法、直方圖

3. 理解樣本均值、樣本方差及中位數的概念并能運用相關公式進行計算

4. 掌握如下概念：概率、樣本空間、事件、事件的獨立性、條件概率，理解并能靈活運用Bayes 公式

5. 理解古典概型的定義并能熟練解決這方面的問題

(二) 離散隨機變量

1. 理解離散隨機變量的定義

2. 理解如下經典離散分布所產生的模型

a. 二項分布

b. 幾何分布

c. 泊松分布

d. 超幾何分布

能熟練計算上述分布的期望、方差，能熟練應用上述分布求出相應事件的概率

3. 了解離散隨機變量的特征函數的定義和性質

4. 了解兩個離散隨機變量相互獨立的概念

5. 理解二維離散隨機變量的聯合分布、條件分布、邊緣分布及兩個離散隨機變量的相關系數的概念并能熟練運用相關的公式解決問題

(三) 連續隨機變量

1. 理解連續隨機變量的概念

2. 理解密度與分布的概念及其關系

3. 熟悉如下常用連續分布

a. 正態分布

b. 指數分布

c. 均勻分布

d. t分布

e. c2分布

4. 了解連續分布的期望、方差的概念

5. 了解有限個連續隨機變量相互獨立的概念

6. 理解二維連續隨機變量的聯合密度、條件密度、邊緣分布及二個連續隨機變量的相關系數并能運用相關公式進行計算

7. 了解連續隨機變量的特征函數的概念及性質

(四) 獨立隨機變量和的中心極限定理和大數定律

1. 了解依概率收斂、以概率1收斂(或幾乎處處收斂)、依分布收斂的定義，了解上述收斂性的關系

2. 理解并掌握伯努利大數定律和利莫弗-拉普拉斯中心極限定理

3. 了解辛欽大數定律、萊維-林德伯格中心極限定理

(五) 點估計

1. 理解無偏估計、矩估計、極大似然估計

2. 能夠計算參數的矩估計、極大似然估計

(六) 區間估計

1. 理解置信區間的概念

2. 能夠計算正態總體的期望的置信區間(包括方差已知、方差未知兩種情況)

3. 在樣本容量充分大的條件下，能夠計算近似置信區間

4. 能夠計算兩個正態總體的期望之差的置信區間(方差已知)

(七) 假設檢驗

1. 理解以下概念：第一、二類錯誤的概率、檢驗的功效、功效函數、檢驗的拒絕域、檢驗的原假設、備擇假設

2. 能給出一個正態總體的期望的檢驗的拒絕域(包括方差已知、方差未知)

3. 能用大樣本方法求拒絕域

4. 能給出基于成對數據的檢驗問題的拒絕域

(八) 簡單線性回歸模型

1. 理解簡單線性回歸模型定義，能寫出模型的數學表達式

2. 能計算回歸線的斜率、截距的最小二乘估計

3. 了解隨機誤差(隨機標準差)的估計

三、 參考書

1. 陳希孺，概率論與數理統計，科學出版社，中國科技大學出版社， 1999

2. 盛驟，謝式千，潘承毅，概率論與數理統計，高等教育出版社(第三版)，2001

3. 劉光祖，概率論與應用數理統計，高等教育出版社，2000