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中國傳媒大學碩士研究生入學考試《數學分析》考試大綱

一、考試的基本要求

《數學分析》是為招收應用數學專業碩士生而設置的具有選拔功能的水平考試。 它的主要目的是測試考生對數學分析各項內容的掌握程度。要求考生熟悉數學分析的基本概念和基本理論，掌握數學分析的基本思想和方法, 具有一定的抽象思維能力、較強的邏輯推理能力和運算能力。

二、考試內容和考試要求

1.極限和函數的連續性

數列的極限、函數的極限; 函數的連續性和一致連續性;連續函數的各種性質。

(1)熟練掌握數列極限與函數極限的概念;理解無窮小量的概念及基本性質。

(2)掌握極限的性質及四則運算性質，能夠熟練運用兩面夾原理和兩個特殊極限。

(3)熟練掌握函數連續性的概念及相關的不連續點類型。

(4)熟練掌握閉區間上連續函數的性質：有界性定理、最值定理、介值定理。

2.一元函數微分學

微分的概念、導數的概念、微分和導數的意義;求導運算;微分運算;微分中值定理;洛必達法則、泰勒展式;導數的應用。

(1)理解導數和微分的概念及其相互關系，理解導數的幾何意義，理解函數可導性與連續性之間的關系。

(2)熟練掌握函數導數與微分的運算法則，包括高階導數的運算法則、復合函數求導法則，會求分段函數的導數。

(3)熟練掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理以及Taylor展式。

(4)能夠用導數研究函數的單調性、極值，最值和凸凹性。

(5)掌握用洛必達法則求不定式極限的方法。

3.一元函數積分學

定積分的概念、性質和微積分基本定理;不定積分和定積分的計算;定積分的應用;廣義積分的概念和廣義積分收斂的判別法。

(1)理解不定積分的概念。掌握不定積分的基本公式，換元積分法和分部積分法，會求初等函數、有理函數和三角有理函數的積分。

(2)掌握定積分的概念，包括可積條件與可積函數類。

(3)掌握定積分的性質，熟練掌握微積分基本定理、定積分的換元積分法和分部積分法以及積分中值定理。

(4)能用定積分計算平面圖形的面積、旋轉體的體積與側面積。

(5)理解廣義積分的概念。熟練掌握判斷廣義積分收斂的比較判別法，Abel判別法和Dirichlet判別法。

4.無窮級數

數項級數的概念、數項級數斂散的判別法;級數的絕對收斂和條件收斂;函數項級數的收斂和一致收斂及其性質、收斂性的判別;冪級數及其性質、泰勒級數和泰勒展開。

(1)理解數項級數斂散性的概念，掌握數項級數的基本性質。

(2)熟練掌握正項級數斂散的必要條件，比較判別法，Cauchy判別法，D’Alembert判別法與積分判別法。

(3)熟練掌握任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念及其相互關系。熟練掌握交錯級數的Leibnitz判別法。掌握絕對收斂級數的性質。

(4)熟練掌握函數項級數一致收斂性的概念以及判斷一致收斂性的Weierstrass判別法、Abel判別法和Dirichlet判別法。

(5)掌握冪級數及其收斂半徑的概念，冪級數的性質, 能夠將函數展開為冪級數。

(6)了解Fourier級數的概念與性質。

5.多元函數微分學與積分學

多元函數的極限與連續、全微分和偏導數的概念、重積分的概念及其性質、重積分的計算;曲線積分和曲面積分;反常積分的定義和判別。

(1)理解多元函數極限與連續性，偏導數和全微分的概念，會求多元函數的偏導數與全微分。

(2)熟練掌握重積分、曲線積分和曲面積分的概念與計算。

(3)熟練掌握Gauss公式、Green公式和Stoks公式及其應用。

6.含參變量積分

含參變量積分的概念、性質。

(1)了解含參變量常義積分的概念與性質。

(2)熟練掌握變上限積分。

三、考試的基本題型

主要題型可能有：概念題、選擇題、填空題、簡答題、計算題、證明題等。試卷滿分為150分。

四、考試的形式及時間

考試采用閉卷筆試形式。考試時間為180分鐘.