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814--《高等代數》考研大綱

一、基本要求

要求考生全面系統地理解高等代數的基本概念和基本理論，熟練掌握高等代數的基本思想和基本方法。要求考生具有較強的抽象思維能力、邏輯推理能力、數學運算能力以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力。

二、考試范圍

(一)多項式

1.多項式的帶余除法及整除性、最大公因式、互素多項式;

2.不可約多項式、因式分解唯一性定理、重因式、復系數與實系數多項式的因式分解、有理系數多項式不可約的判定;

3.多項式函數與多項式的根、代數基本定理、有理系數多項式的有理根的求法、根與系數的關系。

(二)行列式

1.行列式的定義及性質，行列式的子式、余子式及代數余子式;

2.行列式按一行、列的展開定理、Cramer法則、Laplace定理和行列式乘法定理、Vandermonde行列式;

3.運用行列式的性質及展開定理等計算行列式。

(三)線性方程組

1.Gauss消元法與初等變換;

2.向量組的線性相關性、向量組的秩與極大線性無關組、矩陣的秩;

3.線性方程組有解的判別定理與解的結構。

(四)矩陣

1.矩陣的基本運算、矩陣的分塊及常用分塊方法;

2.矩陣的初等變換、初等矩陣、矩陣的等價、矩陣的跡、方陣的多項式;;

3.逆矩陣、矩陣可逆的條件及與矩陣的秩和初等矩陣之間的關系，伴隨矩陣及其性質;

4.運用初等變換法求矩陣的秩及逆矩陣。

(五)二次型理論

1.二次型及其矩陣表示、矩陣的合同、二次型的標準形與規范形、慣性定理;

2.實二次型在合同變換下的規范形以及在正交變換下的特征值標準型的求法;

3.實二次型或實對稱矩陣的正定、半正定、負定、半負定的定義、判別法及其應用。

(六)線性空間

1.線性空間、子空間的定義與性質，向量組的線性相關性，線性(子)空間的基、維數、向量關于基的坐標，基變換與坐標變換，線性空間的同構;

2.子空間的基擴張定理，生成子空間，子空間的和與直和、維數公式;

3.一些常見的子空間，如線性方程組的解空間、矩陣空間、多項式空間、函數空間。

(七)線性變換

1.線性變換的定義、性質與運算，線性變換的矩陣表示，矩陣的相似、同一個線性變換關于不同基的矩陣之間的關系;

2.矩陣的特征多項式與最小多項式及其性質、線性變換及其矩陣的特征值和特征向量的概念和計算、特征子空間、實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質;

3.線性變換的不變子空間、核、值域的概念、關系及計算;

4.Hamilton-Caylay定理、矩陣可相似對角化的條件與方法、線性變換矩陣的化簡、Jardan標準形。

(八)λ-矩陣

1.λ-矩陣的初等變換、標準型，λ-矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子及三種因子之間的關系;

2.λ-矩陣的等價與數字矩陣的相似;

3.Jordan標準形的的理論推導。

(九)歐氏空間

1.內積與歐氏空間的定義及性質，向量的長度、夾角、距離，正交矩陣，歐氏空間的同構，正交子空間與正交補;

2.歐氏空間的度量矩陣、標準正交基、線性無關向量組的Schmidt正交化方法;

3.正交變換與正交矩陣的等價條件，對稱變換的概念與性質;

4.實對稱矩陣的正交相似對角化的求法;最小二乘法、初等旋轉和鏡像變換。