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長春理工大學數學研究生入學初試

《高等代數》考試大綱

一、總體要求

高等代數是大學數學系本科學生的最基本課程之一，它的主要內容包括多項式理論、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、λ-矩陣、歐幾里得空間、雙線性函數。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強的運算能力、推理證明能力和綜合分析解決問題的能力。要求考生比較系統地理解高等代數的基本概念和基本理論，掌握高等代數的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

二、教材

北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組編，《高等代數》，高等教育出版社，2003年7月第3版.

張禾瑞，郝鈵新編，《高等代數》，高等教育出版社， 1997.

姚慕生編，《高等代數》，復旦大學出版社， 2003.

三、考試內容

(一) 多項式

1. 一元多項式的整除、最大公因式、帶余除法公式、互素、不可約、因式分解、重因式、根及重根、多項式函數的概念及判別;

2. 復根存在定理(代數基本定理);

3. 根與系數關系;

4. 一些重要定理的證明，如多項式的整除性質，Eisenstein判別法，不可約多項式的性質，整系數多項式的因式分解定理等;

5. 運用多項式理論證明有關命題，如最大公因式、多項式的互素、不可約多項式的性質有關的問題的證明與應用;

6. 用多項式函數方法證明有關結論。

(二) 行列式1. -級排列、對換、-級排列的逆序及逆序數和奇偶性;

2. -階行列式的定義，基本性質及常用計算方法(如三角形法、加邊法、降階法、遞推法、按一行或一列展開法、Laplace展開法、Vandermonde行列式法);

3. Vandermonde行列式;

4. 行列式的代數余子式。

(三) 線性方程組

1. 向量組線性相(無)關的判別及相應齊次線性方程組有(無)非零解的相關向量判別法、行列式判別法;

2. 向量組的極大線性無關組的性質，向量組之間秩的大小關系定理及其三個推論， 向量組的秩的概念及計算，矩陣的行秩、列秩、秩概念及其行列式判別法和計算;

3. Cramer法則，線性方程組有(無)解的判別定理，齊次線性方程組有(無)非零解的矩陣秩判別法、基礎解系的計算和性質、通解的求法;

4. 非齊次線性方程組的解法和解的結構定理;

(四) 矩陣

1. 矩陣基本運算、分塊矩陣運算及常用分塊方法并用于證明與矩陣相關的結論，如有關矩陣秩的不等式;

2. 初等矩陣、初等變換及其與初等矩陣的關系和應用;

3. 矩陣的逆和矩陣的等價標準形的概念及計算，矩陣可逆的條件及其與矩陣的秩和初等矩陣的關系，伴隨矩陣概念及性質;

4. 行列式乘積定理;

5. 矩陣的轉置及相關性質;

6. 一些特殊矩陣的常用性質，如，對角陣、三角陣、對稱矩陣、反對稱矩陣、冪等矩陣、正交矩陣等;

7. 矩陣的跡、方陣的多項式;

8. 應用矩陣理論解決一些問題。

(五) 二次型

1. 二次型及其標準形、規范型的概念和計算，慣性定理及其應用;

2. 實二次型或實對稱矩陣正定、半正定、負定、半負定的概念及判定條件和應用;

3. 實二次型在合同變換下的標準形和規范型，以及在正交變換下的特征值標準形的求法。

(六) 線性空間

1. 線性空間、子空間的定義及性質;

2. 線性空間中一個向量組的秩及計算方法;

3. 線性(子)空間的基和維數與向量關于基的坐標，子空間的基擴充定理，基變換與坐標變換，生成子空間，子空間的直和，一些常見的子空間，如線性方程組的解空間，矩陣空間，多項式空間;

4. 子空間的直和、維數公式;

5. 線性空間的同構;

6. 向量組線性相關或無關及子空間直和等相關結論的綜合證明;

(七) 線性變換

1. 線性變換定義與運算及其矩陣表示;

2. 矩陣的特征多項式和最小多項式及其有關性質;

3. 線性變換及其對應矩陣的特征值和特征向量的概念和計算;

4. 線性變換及其矩陣的線性無關特征向量的判別和最大個數及特征子空間;

5. 實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質;

6. 矩陣相似的概念及同一個線性變換關于不同基的矩陣之間的關系;

7. 線性變換的不變子空間、核、值域的概念及關系和計算;

8. 線性變換和矩陣可對角化的概念和條件;

9. Hamilton-Caylay定理。

(八) λ-矩陣

1. λ-矩陣的初等變換、標準形、行列式因子、不變因子、初等因子及三種因子之間的關系;

2. 矩陣的Jordan標準形的存在唯一性定理的證明及其應用。

(九) 歐氏空間

1. 內積和歐氏空間的定義及簡單性質，如柯西—布涅可夫斯基不等式、三角不等式、勾股定理等;

2. 歐氏空間的度量矩陣的概念及性質;

3. 歐氏空間的標準正交基概念及其求法和性質的證明與應用;

4. 正交變換和正交矩陣的等價條件;

5. 對稱變換的概念及其簡單性質;

6. 實對稱矩陣的正交相似對角化定理及其相應正交矩陣和對角矩陣的求法;

7. 線性無關向量組的施密特(Schmidt)正交化方法;

8. 兩類正交變換、酉空間和酉變換;

9. 正交相似變換。

(十) 雙線性函數

1. 對偶基定義、性質計算與證明;

2. 線性函數、同構映射定義定義及性質;

3. 雙線性函數、對稱雙線性函數和反對稱雙線性函數的定義及性質。