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《高等代數》考試大綱

專業代碼：070101、070102、070103、070104、070105

專業名稱：基礎數學、應用數學、計算數學、概率論與數理統計、運籌學與控制論

考試科目代碼：802

考試科目名稱：高等代數

(一) 考試內容

試題以北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組編寫，王萼芳和石生明修訂的《高等代數》(第三版)(高等教育出版社，2003年7月)為藍本，內容覆蓋本教材的第一章至第九章，內容涉及：多項式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、 -矩陣、歐幾里得空間等。試題重點考查的內容：

一、多項式

1. 多項式的帶余除法及最大公因式

2. 復系數和實系數多項式的因式分解

3. 重因式與重根

4. 對稱多項式基本定理

二、行列式

1. 行列式的定義及性質

2. n階行列式的計算

3. Cramer法則

三、線性方程組

1. 消元法

2. 方程組解的判別定理

3. 方程組解的結構

四、矩陣

1. 矩陣的運算

2. 矩陣的秩

3. 矩陣的逆

4. 初等矩陣

5. 矩陣的分塊

五、二次型

1. 二次型及其標準形

2. 二次型的規范型

3. 正定二次型

六、線性空間

1. 線性空間的維數、基

2. 基變換、向量的坐標及變換

3. 子空間及其運算

4. 同構的概念

七、線性變換

1. 線性變換與矩陣

2. 線性變換的特征值與特征向量

3. 線性變換的對角化

4. 值域與核

5. 不變子空間

八、

1.

2. 不變因子、行列式因子、初等因子

3. Jordan標準形

九、歐幾里得空間

1. 標準正交基

2. 正交變換

3. 實對稱矩陣的標準形

4. 最小二乘法

(二) 考試基本要求

1. 基本概念要清晰

《高等代數》是一門非常重要的基礎課程，在數學及相關領域中有重要的應用。同時，本課程也是學習抽象數學方法和思想的最佳課程。所以，對于本課程的基本概念需要特別注意，做到透徹理解。

2. 基本計算技巧要熟悉

除掌握基本計算方法外，也需要熟悉本課程中的一些計算技巧。如n階行列式的計算、分塊矩陣的技巧。

3. 基本定理要掌握

本課程的基本定理不僅需要會用，同時對于其證明方法也要求掌握。

(三) 考試形式

筆試、閉卷

(四) 考試基本題型

基本題型可能包括：填空題、計算題、解答題和證明題等。