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長春理工大學(xué)數(shù)學(xué)研究生入學(xué)復(fù)試

《常微分方程》考試大綱

一、總體要求

本課程主要是使學(xué)生掌握一階微分方程的初等解法、一階微分方程的解的存在定理、高階微分方程及線性微分方程解的一般理論，了解非線性微分方程解的穩(wěn)定性.常微分方程是一門與實際應(yīng)用聯(lián)系很強的課程，在學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)當(dāng)理論聯(lián)系實際，通過學(xué)習(xí)該課程使學(xué)生能提出問題、分析問題、解決問題，增強學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

二、教材

常微分方程(第三版)，王高雄等，高等教育出版社，2006.

三、考試內(nèi)容

(一)一階微分方程的初等解法

1.要求考生熟練變量分離方程、齊次方程的求解.

2.要求考生理解一階線性方程與常數(shù)變易法，并用常數(shù)變易法求解伯努利方程.

3.要求考生熟練掌握恰當(dāng)方程的解法，對于非恰當(dāng)方程，要求會求積分因子，并熟練求出其解.

4.要求考生了解一階隱式方程與參數(shù)表示，并會求解一些一階隱式方程.

5.能夠解決比較簡單的應(yīng)用問題.

(二)一階微分方程的解的存在唯一性定理

1.要求考生熟練掌握一階微分方程解的存在唯一性定理的表述及證明方法，并會利用解的存在唯一性定理解決實際問題.

2.要求考生理解解的延拓、解對初值的連續(xù)性與可微性定理，以及奇解和包絡(luò)，掌握怎樣求解的最大存在區(qū)間.

(三)高階微分方程

1.要求考生理解高階線性微分方程一般理論，并熟練用常數(shù)變易法求解高階微分方程.

2.要求考生熟練掌握常系數(shù)線性微分方程的解法.

(四)線性微分方程組

1.要求考生理解線性微分方程組的一般理論，掌握線性齊次微分方程組的解組的線性相關(guān)性與朗斯基行列式的關(guān)系，了解齊次微分方程組的解的結(jié)構(gòu)與劉維爾公式.

2. 要求考生在已知齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系的條件下，會通過系數(shù)變易的方法求出非齊次方程組的一個特解.

3.要求考生熟練掌握常系數(shù)線性微分方程組的解法.

(五)非線性微分方程

1.要求考生了解按線性近似微分方程組的穩(wěn)定性，掌握平面線性定常系統(tǒng)奇點類型分析方法;掌握平面定常系統(tǒng)奇點附近軌線分析方法.

2.要求考生熟練掌握李雅普諾夫第二方法判斷線性微分方程的穩(wěn)定性，了解平面定常系統(tǒng)極限環(huán)存在性判別方法.