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碩士研究生入學考試《數學分析》考試大綱

Ⅰ考試形式和試卷結構

一、試卷滿分及考試時間

本試卷滿分為150分，考試時間為3小時。

二、答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

三、試卷題型結構

1、填空題　 40 分

2、計算題 50 分

3、證明題 60分

II考試范圍

一元微積分部分

1.會用ε—N定義證明數列極限有關問題，并會用ε—N語言正確表述數列不以某數為極限;

2.理解收斂數列的性質，極限的唯一性、保號性及不等式性質;?

3.會用極限的四則運算法則，迫斂性定理以及單調有界定理求收斂數列的極限;

4.理解柯西準則在極限理論中的重要意義，能用該準則判定某些簡單數列的斂散性。

5.能運用函數極限定義證明與函數極限有關的某些命題，會給出函數不以某定數為極限的相應表述;?

6.掌握函數極限基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質及有理運算性質;

7.理解Heine定理及Cauchy準則，初步掌握運用它們證明函數極限存在的基本思路;?

8.識記兩個重要極限，能靈活運用其求一些相關函數極限;?

9 .明確函數在一點連續定義的幾種等價敘述;?

10.會熟練準確地求出一般初等函數或分段函數的間斷點并判別其類型;?

11.理解連續函數的性質，并能在相關問題的討論中正確運用這些重要性質;?

12.深刻理解初等函數的連續性，應用連續性求極限;?

13.掌握閉區間上連續函數的性質，理解其幾何意義，并能在各種有關具體問題中加以運用;

14.利用定義法求函數在一點的導數;導數與導函數的聯系與區別，可導的充要條件，可導與連續的關系，求曲線上一點處的切線方程，用導數概念解決相關變化率的實際應用問題;

15.熟記各類基本初等函數導數公式，綜合運用求導的法則和方法熟練計算初等函數的導數;

16.理解函數微分的概念，用定義求簡單函數的微分，運用基本公式和微分法則求初等函數的微分;?

17.導數與微分的聯系，增量與微分的關系，用微分作近似計算;?

18.理解高階導數與高階微分概念，明確二者的聯系，會求高階導數與高階微分，理解一階微分形式的不變性并用其求復合函數的微分。

19.利用中值定理證明有關函數微分學的命題;?

20.用洛比塔法則求不定式的極限;?

21.討論函數及曲線性態，用導數作函數圖象;?

22.求解有關最大(小)值的應用問題;?

23. 用中值定理及單調性證明不等式，方程根的存在個數及分布討論。

24.區間套、確界、覆蓋、子列等概念的理解;求點集的聚點、確界;

25.對實數基本定理的理解和準確表述，明確其等價性;?

26.應用閉區間上連續函數的性質討論函數的有界性、最值性、證明方程根的存在性;?

27.原函數與不定積分的關系及其幾何意義;積分與微分的關系;?

28.熟記基本積分公式，用線性運算法則求不定積分;?

29.用換元積分法和分部積分法或綜合運用這幾種方法求不定積分;

30.理解并掌握定積分的思想(分割、近似求和、取極限)的基礎上會用定義求簡單函數的定積分;?

31.用微積分學基本定理及牛頓——萊布尼茲公式進行有關積分的證明和計算;變限積分的求導法則及應用;?

32.用換元積分法和分布積分法計算定積分;

33.用定積分解決某些幾何應用問題：平面圖形面積、平面曲線的弧長、一些特殊立體的體積、旋轉曲面的面積等的計算;?

34.用比較法、Cauchy法判別無窮限積分的收斂性;?

二 級數部分

1.級數斂散性的概念及收斂級數性質的理解和運用;?

2.用定義、性質及收斂的必要條件判別級數的斂散性;?

3.用比較法、比式法、根式法、積分法判別正項級數斂散性;?

4.用萊布尼茲判別法判斷交錯級數的斂散性;?

5.用Abel及Dirichlet判別法判斷某些級數的斂散性;

6.函數列或函數項級數一致收斂的概念和性質的理解與掌握;?

7.函數項級數一致收斂性的判別;?

8.掌握一致收斂的函數列與函數項級數表示的函數的連續性、可積性、可微性，并用這些性質去解決有關問題;

9.求冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域;?

10.熟記幾個常用初等函數的冪級數展開式，并利用其將某些初等函數展開成冪級數;

11.用冪級數的性質及逐項求導和逐項積分求某些冪級數的和函數;

12.明確函數冪級數展開的條件及求函數冪級數展開式的一般步驟。

三.多元微積分部分?

1.理解并掌握二元函數極限概念，明確重極限與累次極限的關系，能借助累次極限解決極限有關問題;說明二元函數極限不存在的常用方法的應用;?

2.理解二元函數連續的概念，會利用連續性求初等函數的極限，掌握有界閉域上連續函數的性質;?

3.深刻理解全微分和偏導數的概念及聯系，用定義討論函數的可微性;

4.用定義求函數在指定點的偏導數;?

5.熟練運用復合函數求導法則計算各階偏導數;?

6.函數的可微、連續、偏導存在與偏導數連續之間關系;?

7.求空間曲線的切線和法平面;曲面的切平面和法線;?

8.求二元函數的極值及一些簡單的最大(小)值應用問題;?

9.求隱函數及隱函數組的導數;?

10.隱函數理論在幾何上的應用，求曲線切線、法線(法平面)、求曲面的切平面和法線;?

11.用Lagrange乘數法求條件極值;

12.分析、論證含參量積分定義的函數的連續性，可微性或可積性;

13.判別含參量反常積分一致收斂性;?

14.用對參量的積分、微分、極限等運算求定積分或反常積分;?

15.Γ函數及B函數的定義、關系及遞推公式的應用。?

16.熟練運用兩類曲線(曲面)積分的計算法求曲線(曲面)積分;

17.直角坐標系下計算二重積分及二次積分交換順序;?

18.利用變量替換公式簡化二重積分計算，特別是利用極坐標變換計算二重積分;

19 .應用Green公式計算第二型曲線積分，及用第二型曲線積分計算平面圖形面積;

20.化三重積分為累次積分，用柱面坐標和球面坐標計算三重積分;

21.應用Gauss公式計算曲面積分。?