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碩士研究生入學考試《高等代數》考試大綱

Ⅰ.考試形式和試卷結構

一、試卷滿分及考試時間

本試卷滿分為150分，考試時間為3小時。

二、答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

三、試卷題型結構

1、填空題　 40 分

2、計算題 50 分

3、證明題 60分

II.考試范圍

一、多項式理論

一元多項式的整除性、帶余除法、最大公因式、互素多項式、不可約多項式、多項式的因式分解、重因式等基本概念及其性質;多項式函數; 多項式的根(重根)與它的一次因式(重因式)間的關系;多項式是否有重因式的判別法; 實、復系數多項式的不可約多項式的形式及標準分解式的形式;有理系數多項式的不可約判定及求整系數多項式的有理根等基本方法。

二、行列式

n級排列的逆序數、對換、奇偶性; n階行列式的定義、性質;行列式的子式、代數余子式及展開定理;行列式的計算方法; 克萊姆法則; Vandermonde行列式。

三、矩陣理論

矩陣的運算及性質;矩陣的秩;矩陣的初等變換與初等矩陣; 矩陣在初等變換下的標準形;矩陣的逆、伴隨陣、線性方程組的矩陣形式; 行列式乘積定理;; 分塊矩陣; 分塊矩陣運算; 矩陣和轉置、對角陣、三角陣、矩陣單位;矩陣的跡、方陣的多項式。

四、線性方程組

n維向量空間; n維向量組的線性相關性;n維向量組的秩、向量組的等價，矩陣的秩等基本概念及性質; Gauss消元法; 線性方程組有解的判定定理;線性方程組解的結構(括齊次線性方程組的基礎解系定義、求法)。

五、二次型

二次型的矩陣表示; 二次型的標準形與合同變換; 復數域與實數域上二次型的標準形、規范形;慣性定理; 實二次型、實對稱矩陣正定的充分必要條件。

六、線性空間

線性空間的概念;一些重要的線性空間實例，基、維數與坐標; 基變換與坐標變換。

七、線性變換

線性映射與線性變換的概念、運算;線性變換的矩陣表示;線性變換(矩陣)的特征多項式、特征值與特征向量;線性變換的值域與核; 特征子空間; 線性變換的不變子空間; 線性變換的矩陣為對角矩陣的充要條件，線性變換及矩陣的最小多項式;

八、歐氏空間

向量內積;歐氏空間的概念及性質，度量矩陣;向量的長度、夾角、正交、距離，柯西一布涅科夫斯基不等式;標準正交基; 歐氏空間的子空間的正交補，歐氏空間的同構;歐氏空間的正交變換與對稱變換，對稱變換與實對稱矩陣用正交變換化實對稱矩陣為對角陣的方法。