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714數學分析

北京師范大學碩士研究生入學考試數學分析大綱

參考書:

1.數學分析第二版上、下, 陳紀修等, 高等教育出版社, 2004.

2.簡明數學分析 第二版, 郇中丹等, 高等教育出版社， 2009.

3.數學分析第3版(1-3冊), 鄭學安等編著, 北京師范大學出版社, 2010。

一、實數集與函數

考試內容：實數概念及性質，確界原理，閉區間套定理，函數的概念及表示法，函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性，復合函數、反函數、分段函數和隱函數，基本初等函數的性質及其圖形，初等函數，函數關系的建立.

考試要求：

1.理解實數概念,掌握實數的小數表示及性質.

2.掌握確界概念并會應用確界原理.

3.掌握閉區間套概念并會應用閉區間套定理.

4.理解函數的概念,掌握函數的表示法,會建立應用問題的函數關系.

5.掌握函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性.

6.掌握復合函數、分段函數、反函數及隱函數的概念.

7.掌握基本初等函數的性質及其圖形,理解初等函數的概念.

二、數列與一元函數的極限

考試內容：數列極限和函數極限(簡稱極限)的定義，數列的上、下極限，函數的單側極限(自變量趨于單點時函數的左極限與右極限，自變量趨于正或負無限大時函數的極限)，函數的單側上、下極限，無窮小量和無窮大量的概念及其關系，無窮小量的性質及無窮小量的比較，極限的性質，極限存在的兩個判別準則: 柯西(Cauchy)準則和單調有界準則, 兩個重要極限，致密性定理，聚點定理，數列極限的施托爾茨(Stolz)定理，函數極限的海涅(Heine)定理，開集、閉集和緊集，有限覆蓋定理.

考試要求：

1.掌握極限的概念(包括某一極限過程中數列或函數的收斂與發散)，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左、右極限之間的關系.

2.掌握極限的性質(有界性、唯一性、保號性、算術性質、保序性、夾逼性質等).

3.掌握極限存在的柯西準則，并會利用它判斷極限的存在與否.

4.掌握極限存在的單調有界準則，能夠用其判斷數列收斂或在某一極限過程中函數收斂，并在可能的情況下求出極限.

5.掌握致密性定理(有界數列必有收斂子列)，聚點定理(有界無窮點集至少有一個聚點).

6.掌握利用兩個重要極限求極限的方法，會用施托爾茨定理求極限.

7.掌握無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限.

8.掌握函數連續性的概念(含左連續與右連續)，會判別函數間斷點的類型.

9.掌握海涅定理并會利用它判斷極限的存在與否.

10.理解開集、閉集的概念和性質，掌握緊集與開覆蓋的概念、有限覆蓋定理.

三、一元函數的連續

考試內容：函數連續的概念和性質，函數間斷點的類型，初等函數的連續性，閉區間上連續函數的性質.

考試要求：

1.理解連續函數的概念、性質和初等函數的連續性,掌握閉區間上連續函數的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理等),并會應用這些性質.

2.理解連續函數的一致連續性概念,掌握有界閉區間上的海涅-康托爾(Heine-Cantor)一致連續定理.

四、一元函數微分學

考試內容：導數和微分的概念和關系，導數的幾何意義和物理意義，微分的幾何意義，函數的可導性與連續性之間的關系，平面曲線的切線和法線，導數和微分的四則運算，基本初等函數的導數，復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法，高階導數，萊布尼茲求導公式，一階微分形式的不變性，微分中值定理，泰勒(Taylor)公式，洛必達(L'Hospital)法則，函數單調性的判別，函數的極值，函數的最大值和最小值，函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線，函數圖形的描繪，插值多項式和方程近似求根.

考試要求：

1.理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續性之間的關系.

2.掌握導數的四則運算法則、復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式.了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分.

3.理解高階導數的概念、萊布尼茲求導公式，會求一些簡單函數的高階導數.

4.會求分段函數的導數，會求隱函數及反函數的導數.

5.掌握羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理、達布導函數介值定理和泰勒(Taylor)定理(帶幾種余項的).

6.掌握洛必達法則以及用洛必達法則求未定式極限的方法.

7.理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其應用.

8.會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形.

9.理解插值多項式和方程近似求根.

五、一元函數積分學

考試內容：原函數和不定積分的概念，不定積分的基本性質，基本函數的積分公式,定積分(指黎曼積分)的概念和基本性質，定積分中值定理，積分上、下限函數及其導數，黎曼可積的判別準則，牛頓一萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法，有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分，反常(廣義)積分，定積分的應用.

考試要求：

1.理解原函數的概念，掌握不定積分和定積分的概念.掌握函數是黎曼可積的必要條件，掌握函數黎曼可積的判別準則.

2.掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法.

3.掌握有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分.

4.理解積分變上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式.理解定積分的近似計算.

5.理解反常積分的概念和性質，掌握判斷廣義積分收斂與否的方法，會計算一些簡單的廣義積分.

6.掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積,及功、引力、壓力、質心、形心等)及函數的平均值.

六、無窮級數

考試內容:(一)常數項級數：收斂與發散的概念，收斂級數的和的概念，級數的基本性質與收斂的必要條件，幾何級數與，p級數及其收斂性，正項級數收斂性的判別法，交錯級數與萊布尼茨定理，任意項級數的絕對收斂與條件收斂.(二)函數項級數：收斂域、和函數、一致收斂概念，函數項級數的一致收斂判別法、和函數的分析性質(連續性、可微性和可積性;逐項求極限、求微分和逐項求積分),(三)冪級數：冪級數及其收斂半徑、收斂區間(指開區間)和收斂域，冪級數的和函數，冪級數在其收斂區間內的基本性質，簡單冪級數的和函數的求法，初等函數的冪級數展開式.(四)三角級數與函數的傅里葉(Fourier)級數：2л-周期函數的傅里葉系數與傅里葉級數，黎曼引理，貝塞爾不等式，傅里葉級數收斂的狄尼(Dini)判別法、狄利克雷(Dirichlet)判別法，傅里葉級數的收斂定理，2l(l>0)-周期函數函數的傅里葉級數，正弦級數和余弦級數.

考試要求：

1.理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件.

2.掌握幾何級數與\,$p$級數的收斂與發散的條件.

3.掌握正項級數收斂性的柯西判別準則、比較判別法、比值判別法、根值判別法、拉比(Raabe)判別法、積分判別法等.

4.掌握交錯級數的萊布尼茨判別法.

5.掌握任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念、絕對收斂與收斂的關系和絕對收斂級數的乘積.

6.掌握狄利克雷判別法和阿貝爾判別法.

7.理解函數項級數的收斂域、和函數的概念及性質.

8.掌握判別函數列及函數項級數一致收斂與否的方法(柯西準則、優級數判別法、狄利克雷判別法、阿貝爾判別法和迪尼判別法等)，掌握函數項級數的和函數的分析性質.

9.理解冪級數收斂半徑的概念、并掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法.

10.理解冪級數在其收斂區間內的基本性質(和函數的連續性、逐項求導和逐項積分)，會求一些冪級數在收斂區間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和.

11.理解函數展開為泰勒級數的充分必要條件.

12.掌握幾個基本初等函數ex,ln(1+x),sinx,cosx,(1+x)α的麥克勞林(Maclaurin)展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開成冪級數.

13.理解正交函數系、傅里葉系數及傅里葉級數的概念.掌握黎曼引理，局部化定理，貝塞爾不等式.掌握傅里葉級數的狄尼(Dini)判別法、狄利克雷判別法及收斂定理.

14.會將定義在閉區間[-l,l)上的黎曼可積函數延拓成周期為2l的函數并展開其傅里葉級數，會將定義在[0,l)上的函數展開為正弦級數與余弦級數，會寫出傅里葉級數的和函數的表達式.

七、多元函數微分學

考試內容：多元函數的概念，二元函數的幾何意義，多元函數的極限與連續的概念，多元函數極限存在與否的判斷，二元函數的累次極限，有界閉區域上多元連續函數的性質，多元函數的偏導數和全微分、二階乃至更高階偏導數，全微分存在的必要條件和充分條件，隱函數存在定理，反函數存在定理，多元復合函數、隱函數的求導法、二階導數，方向導數和梯度，空間曲線的切線和法平面，曲面的切平面和法線，二元函數的二階泰勒公式，多元函數的極值和條件極值，多元函數的最大值、最小值及其簡單應用.

考試要求：

1.理解多元函數的概念，理解二元函數的幾何意義.

2.理解多元函數的極限與連續的概念以及有界閉區域上連續函數的性質.

3.理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，理解全微分存在的必要條件和充分條件，理解全微分形式的不變性.

4.理解方向導數與梯度的概念，并掌握其計算方法.

5.掌握多元復合函數一階、二階偏導數的求法，以及一些簡單函數的高階偏導數的求法.

6.理解隱函數存在定理，會求多元隱函數的一階、二階偏導數以及一些簡單函數的高階偏導數.

7.理解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程.

8.理解多元函數的泰勒公式.

9.理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，理解多元函數極值存在的充分條件，會求簡單的多元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題.

八、含參變量的廣義積分

考試內容：含參變量的廣義積分的概念，含參變量的廣義積分一致收斂的概念，含參變量的廣義積分的分析性質，一些含參變量的廣義積分的計算.伽瑪(Gamma)函數,貝塔(Beta)函數.

考試要求：

1.掌握常義含參變積分的概念、基本性質和定理.

2.理解含參變量廣義積分收斂、一致收斂的概念，掌握含參量廣義積分的魏爾斯特拉斯判別法、柯西準則、阿貝爾判別法、狄利克雷判別法及迪尼判別法.

3.掌握含參變量的廣義積分的分析性質(連續性、可微性和可積性)的定理.

4.掌握一些廣義積分及含參量廣義積分的計算.理解含參量廣義積分概念和函數項級數概念之間的關系.

5.理解伽瑪函數、貝塔函數及其性質和關系,理解斯特林公式.

九、多元函數積分學

考試內容：二重積分與三重積分的概念、性質、計算和應用,兩類曲線積分的概念、性質及計算，兩類曲線積分的關系，格林(Green)公式,平面曲線積分與路徑無關的條件，二元函數全微分的原函數，兩類曲面積分的概念、性質及計算，兩類曲面積分的關系，高斯(Gauss)公式,斯托克斯(Stokes)公式,散度、旋度的概念及計算,曲線積分和曲面積分的應用.

考試要求：

1.理解重積分的概念、性質.

2.掌握二、三重積分的計算方法，特別是積分變換(直角坐標、極坐標、柱面坐標、球面坐標以及其他簡單的變換),會計算一些簡單的重數高于三的重積分.

3.掌握兩類曲線積分的概念、性質及兩類曲線積分之間的關系.

4.掌握計算兩類曲線積分的方法.

5.掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求二元函數全微分的原函數.掌握斯托克斯公式并會運用其計算曲線積分,會運用曲線積分與路徑無關的條件求三元函數全微分的原函數.

6.理解兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關系，掌握計算兩類曲面積分的方法，掌握高斯公式并會運用其計算曲面積分的方法.

7.理解散度與旋度的概念，并會計算.

8.會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質量、質心、形心、轉動慣量、引力、功及流量等).