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《高等數(shù)學(xué)》考試大綱

一、考試內(nèi)容和要求

(一)函數(shù)、極限、連續(xù)

1.理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，能夠正確建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系.

2.了解函數(shù)有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性的概念，并能熟練分析函數(shù)圖形特征.

3.理解復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)、反函數(shù)以及隱函數(shù)的概念.

4.掌握基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)以及圖形特征，了解初等函數(shù)的概念.

5.理解極限、單側(cè)極限的定義及其之間的相互關(guān)系.

6.熟練掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則.

7.熟練掌握并運(yùn)用極限的兩個(gè)存在性準(zhǔn)則以及兩個(gè)重要極限.

8.理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的定義及其之間的關(guān)系，掌握無(wú)窮小量階的比較方法，掌握極限與無(wú)窮小量的關(guān)系，能夠正確利用等價(jià)無(wú)窮小量求解極限問(wèn)題.

9.理解函數(shù)連續(xù)、單側(cè)連續(xù)的概念及其之間的關(guān)系，能夠熟練找出函數(shù)的間斷點(diǎn)并判斷其類型.

10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解并能熟練應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).

(二)一元函數(shù)微分學(xué)

1.理解導(dǎo)數(shù)、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義并能推導(dǎo)平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，能夠利用導(dǎo)數(shù)描述一些簡(jiǎn)單的物理現(xiàn)象，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系.

2.熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則以及反函數(shù)的求導(dǎo)方法，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.熟練掌握微分的四則運(yùn)算法則，理解并能應(yīng)用函數(shù)的一階微分形式不變性，熟練掌握求解函數(shù)微分的方法.

3.理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，熟練推導(dǎo)簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).

4.掌握分段函數(shù)、隱函數(shù)、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求解方法.

5.理解并會(huì)應(yīng)用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西( Cauchy)中值定理.

6.熟練掌握應(yīng)用洛必達(dá)法則求解未定式極限.

7.理解函數(shù)的極值、最值以及極值點(diǎn)、最值點(diǎn)的概念，掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法，掌握求解函數(shù)極值點(diǎn)和極值并判別最值和最值點(diǎn)的方法.

8.掌握函數(shù)圖形凹凸性的判別方法，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)繪制函數(shù)的圖形.

(三)一元函數(shù)積分學(xué)

1.理解原函數(shù)、不定積分和定積分的概念.

2.熟練掌握計(jì)算不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法.

3.會(huì)求解有理函數(shù)、三角函數(shù)、有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分.

4.理解變限積分(積分上限函數(shù))及其求導(dǎo)方法，掌握牛頓一萊布尼茨公式.

5.理解反常積分的概念，會(huì)計(jì)算反常積分.

6.掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力等)及函數(shù)的平均值.

(四)多元函數(shù)微積分學(xué)

1.了解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的幾何意義.

2.理解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).

3.理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念并能熟練求解多元復(fù)合函數(shù)的各階偏導(dǎo)數(shù)，掌握全微分的概念并能熟練求解多元函數(shù)的全微分，理解隱函數(shù)存在定理并會(huì)求解多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).

4.理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，理解二元函數(shù)極值存在的充分條件并求解二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求解函數(shù)條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.

5.了解二重積分的概念與基本性質(zhì)，掌握二重積分的計(jì)算方法(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)).

(五)無(wú)窮級(jí)數(shù)

1.理解級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散、收斂級(jí)數(shù)和的概念.

2.掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)和級(jí)數(shù)收斂的必要條件，掌握幾何級(jí)數(shù)及p級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法.

3.理解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂、條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系，了解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法.

4.掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的概念與求解方法.

5.理解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分)，并求解簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù).

6.掌握ex.sin x .cos x .ln(1+x) 及(1+x)α 的麥克勞林(Maclaurin)展開式.

(六)常微分方程

1.理解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.

2.掌握變量可分離的微分方程.齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法.

3.掌握求解二階常系數(shù)齊次線性微分方程.

4.理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，能夠求解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程.

5.能夠運(yùn)用微分方程求解簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題.

二、參考書目

[1] 《高等數(shù)學(xué)》(第7版)上冊(cè)，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編著，高等教育出版社，2014年;

[2] 《高等數(shù)學(xué)》(第7版)下冊(cè)，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編著，高等教育出版社，2014年。

三、考試滿分和考試時(shí)間

試卷滿分150分，考試時(shí)間為三個(gè)小時(shí)。

四、答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

不允許使用計(jì)算器。

五、試卷題型結(jié)構(gòu)

試卷題型結(jié)構(gòu)為：

單項(xiàng)選擇題 8小題，每小題4分，共32分

填空題 6小題，每小題4分，共24分

解答題(包括證明題) 9小題，共94分