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2022年碩士研究生入學考試自命題科目考試大綱

科目代碼：F0205 科目名稱：離散數學

一. 考試要求

主要考察學生對離散數學中集合、關系、函數、圖論、命題邏輯、一階謂詞邏輯、推理系統、布爾代數等計算機數學的基本概念、計算和證明方法的理解與掌握情況，以及應用上述概念和方法進行應用問題離散建模、計算求解和邏輯推理的能力。注重概念的深入理解、知識的綜合運用，以及現實問題分析和解決。

二、考試內容

1. 邏輯和證明基礎

命題、邏輯聯接詞、真值表、位操作和位串、命題符號化及應用、邏輯等價和蘊含、命題可滿足性及應用、謂詞、量詞、量詞表達式等價及否定、嵌套量詞、謂詞邏輯符號化、推理規則、歸結、邏輯證明、證明方法、證明策略、邏輯語義。要求熟練掌握命題邏輯和謂詞邏輯的基本概念，掌握邏輯等價和蘊含分析方法，掌握邏輯推理方法和證明方法，能夠熟練運用命題邏輯和謂詞邏輯求解邏輯問題，了解可滿足性問題。

2. 基本結構：集合、函數、序列、求和

集合基本概念、集合描述方法、常見集合、集合相等、屬于、子集、空集、冪集、集合的基數、n元組、笛卡爾乘積、集合運算(交、并、差、補)、集合恒等式、廣義交、廣義并、集合的計算機表示、(全)函數、函數算術、1對1函數、1-1對應、內射、滿射、雙射、函數運算(逆函數、函數的合成)、若干重要函數、部分函數、序列、算術級數、幾何級數、遞推關系、一些特殊序列、累加、基數比較關系(=，³，£，<, >)、可數集、不可數集、基數關系證明。要求熟練掌握集合的基本概念、集合的運算;熟練掌握函數、函數的運算及其證明;熟練掌握級數、累加;掌握基數比較和函數的關系、可數集。

3. 歸納和遞歸

數學歸納法原理、數學歸納法運用、強歸納法原理、強歸納法運用、良序性質、遞歸定義函數、歸納定義法、遞歸定義的集合和結構、結構歸納法、結構歸納法的運用、廣義歸納法、遞歸算法、遞歸算法正確性證明、遞歸和迭代。要求熟練掌握數學歸納法、強歸納法和結構歸納法，能夠熟練運用歸納定義法;掌握遞歸和遞歸算法的基本概念，能夠較熟練編寫遞歸算法;了解遞歸算法正確性證明。

4. 關系

二元關系基本概念、關系與函數、二元關系的性質(自反、對稱、反對稱、傳遞)及其證明、關系的運算、n-元關系基本概念、n-元關系的運算、關系與數據庫、關系的表示(關系矩陣、關系圖)、關系的閉包、等價關系、等價類、劃分、偏序、全序、良序歸納原理、哈斯圖、最大(小)元、極大(小)元、上(下)界、上(下)確界、格、拓撲排序。要求熟悉集合、關系和函數的關聯關系;掌握關系的性質判定和運算;熟悉關系與關系數據庫的關系;掌握等價關系、序關系，能夠證明相關性質;了解格和拓撲排序。

5. 圖

圖的基本概念、圖模型、圖的基本術語和特殊類型圖、二部圖和匹配、圖的應用、圖的運算、圖的表示、圖同構、路徑和連通性、歐拉路徑和哈密頓路徑及其應用、最短路徑算法、平面圖及其應用、歐拉公式、庫拉托瓦斯基定理、圖的著色問題。要求熟悉圖的基本概念和術語;掌握最短路徑算法;熟悉路徑和連通性;較熟練掌握圖的性質證明;較好掌握二部圖和平面圖。

6. 樹

樹的基本概念和術語、樹建模、樹的性質及其證明、樹的應用、二叉樹、樹的遍歷算法、樹的編碼、生成樹、最小生成樹、回溯。要求熟悉樹的基本概念;掌握樹的算法和性質證明;能夠使用樹進行建模和應用;掌握各種樹的遍歷算法;掌握回溯法。

7. 布爾代數

布爾函數、布爾表達式、布爾代數恒等式、對偶、布爾代數定義、范式展開、邏輯門、電路、電路極小化。要求掌握布爾表達式變換方法;熟悉布爾代數與電路的關聯關系;了解布爾代數。

三、考試形式

考試形式為閉卷、筆試，考試時間為1.5-2.0小時，滿分100分。

題型包括：計算題、證明題、分析題、推理題等。

四、參考書目

1.Discrete Mathematics and Its Applications (7th edition), Kenneth H. Rosen, ISBN:978-0-07-338309-5, McGraw-Hill, 2012.

2.《離散數學》，王兵山、張強、毛曉光主編，國防科技大學出版社，2001.