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814--《高等代數(shù)》考研大綱

一、基本要求

要求考生全面系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，熟練掌握高等代數(shù)的基本思想和基本方法。要求考生具有較強(qiáng)的抽象思維能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

二、考試范圍

(一)多項(xiàng)式

1.多項(xiàng)式的帶余除法及整除性、最大公因式、互素多項(xiàng)式;

2.不可約多項(xiàng)式、因式分解唯一性定理、重因式、復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解、有理系數(shù)多項(xiàng)式不可約的判定;

3.多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根、代數(shù)基本定理、有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法、根與系數(shù)的關(guān)系。

(二)行列式

1.行列式的定義及性質(zhì)，行列式的子式、余子式及代數(shù)余子式;

2.行列式按一行、列的展開(kāi)定理、Cramer法則、Laplace定理和行列式乘法定理、Vandermonde行列式;

3.運(yùn)用行列式的性質(zhì)及展開(kāi)定理等計(jì)算行列式。

(三)線性方程組

1.Gauss消元法與初等變換;

2.向量組的線性相關(guān)性、向量組的秩與極大線性無(wú)關(guān)組、矩陣的秩;

3.線性方程組有解的判別定理與解的結(jié)構(gòu)。

(四)矩陣

1.矩陣的基本運(yùn)算、矩陣的分塊及常用分塊方法;

2.矩陣的初等變換、初等矩陣、矩陣的等價(jià)、矩陣的跡、方陣的多項(xiàng)式;;

3.逆矩陣、矩陣可逆的條件及與矩陣的秩和初等矩陣之間的關(guān)系，伴隨矩陣及其性質(zhì);

4.運(yùn)用初等變換法求矩陣的秩及逆矩陣。

(五)二次型理論

1.二次型及其矩陣表示、矩陣的合同、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形、慣性定理;

2.實(shí)二次型在合同變換下的規(guī)范形以及在正交變換下的特征值標(biāo)準(zhǔn)型的求法;

3.實(shí)二次型或?qū)崒?duì)稱矩陣的正定、半正定、負(fù)定、半負(fù)定的定義、判別法及其應(yīng)用。

(六)線性空間

1.線性空間、子空間的定義與性質(zhì)，向量組的線性相關(guān)性，線性(子)空間的基、維數(shù)、向量關(guān)于基的坐標(biāo)，基變換與坐標(biāo)變換，線性空間的同構(gòu);

2.子空間的基擴(kuò)張定理，生成子空間，子空間的和與直和、維數(shù)公式;

3.一些常見(jiàn)的子空間，如線性方程組的解空間、矩陣空間、多項(xiàng)式空間、函數(shù)空間。

(七)線性變換

1.線性變換的定義、性質(zhì)與運(yùn)算，線性變換的矩陣表示，矩陣的相似、同一個(gè)線性變換關(guān)于不同基的矩陣之間的關(guān)系;

2.矩陣的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式及其性質(zhì)、線性變換及其矩陣的特征值和特征向量的概念和計(jì)算、特征子空間、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì);

3.線性變換的不變子空間、核、值域的概念、關(guān)系及計(jì)算;

4.Hamilton-Caylay定理、矩陣可相似對(duì)角化的條件與方法、線性變換矩陣的化簡(jiǎn)、Jardan標(biāo)準(zhǔn)形。

(八)λ-矩陣

1.λ-矩陣的初等變換、標(biāo)準(zhǔn)型，λ-矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子及三種因子之間的關(guān)系;

2.λ-矩陣的等價(jià)與數(shù)字矩陣的相似;

3.Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的的理論推導(dǎo)。

(九)歐氏空間

1.內(nèi)積與歐氏空間的定義及性質(zhì)，向量的長(zhǎng)度、夾角、距離，正交矩陣，歐氏空間的同構(gòu)，正交子空間與正交補(bǔ);

2.歐氏空間的度量矩陣、標(biāo)準(zhǔn)正交基、線性無(wú)關(guān)向量組的Schmidt正交化方法;

3.正交變換與正交矩陣的等價(jià)條件，對(duì)稱變換的概念與性質(zhì);

4.實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化的求法;最小二乘法、初等旋轉(zhuǎn)和鏡像變換。