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數學碩士研究生入學考試《數學分析》考試大綱

考試科目名稱：《數學分析》 科目代碼：601

適用專業：0701數學(一級學科)

一、考試形式與試卷結構

(一)試卷總分及考試時間

本試卷總分為150分，考試時間為180分鐘。

(二)考試形式

答題方式為閉卷。

(三)試卷題型結構

試卷題型主要包括：計算題、討論題、解答題、證明題和綜合題等。

二、考查目標

要求考生系統地理解數學分析課程的基本概念和基本定理，掌握數學分析的基本思維和論證方法，能夠運用數學分析的基本理論分析和解決相關問題。

三、考試內容概要

本課程考核內容包括極限理論、實數完備性、一元函數微分學和積分學、多元函數微分學與積分學、級數理論等。主要章節內容及要求如下：

第一章　實數集與函數

1.了解鄰域，上確界、下確界的概念和確界原理。

2.掌握函數復合、基本初等函數、初等函數及常用特性

(單調性、周期性、奇偶性、有界性等)。

3.掌握基本初等不等式及應用。

第二章　數列極限

1.熟練掌握數列極限的ε-N定義。

2.掌握收斂數列的常用性質。

3.熟練掌握數列收斂的判別條件

(單調有界原理、迫斂性定理、Cauchy準則、壓縮映射原理、Stolz變換等)。

4.能夠熟練求解各類數列的極限。

第三章 函數極限

1.深刻領會函數極限的“ε-δ”定義及其它變式。

2.熟練掌握函數極限存在的條件及判別

(歸結原則，柯西準則，左、右極限，單調有界等)。

3.熟練應用兩個重要極限求解較復雜的函數極限。

4.理解無窮小量、無窮大量的概念;會應用等價無窮小求極限;熟悉等價無窮小、同階無窮小、高階無窮小及其性質。

第四章　函數連續性

1.掌握函數在某點及在區間上連續的幾種等價定義，尤其是ε-δ定義。

2.熟悉函數間斷點及類型。

3.熟練掌握閉區間上連續函數的三大性質及其應用。

4.熟練掌握區間上一致連續函數的定義、判斷和應用。

5.知道初等函數的連續性。

第五章　導數和微分

1.掌握導數的定義、幾何意義，領悟其思想內涵;熟悉單邊導數概念及應用。

2.掌握求導四則運算法則、熟記基本初等函數的導數。

3.熟練掌握復合函數求導的鏈式法則。

4.掌握參量函數、隱函數的求導法、對數求導法。

5.熟練掌握乘積函數求導的Leibniz公式。

6.掌握微分的概念，領悟其思想內涵;并會用微分進行近似計算。

7.熟練掌握復合函數微分及一階微分形式不變性。

8.理解連續、可導、可微之間的關系。

9.熟練掌握高階導數的各種求解方法。

第六章　微分中值定理及其應用

1.熟練掌握微分中值定理及其應用，會證明中值點

的存在性問題。

 

2.熟練運用洛必達法則求極限。

3.熟練掌握單調區間、極值、最值的求法。

4.熟練掌握Taylor公式思想、方法及應用。

5.掌握曲線的凹凸性及拐點的求法，并掌握凸函數及性質。

6.熟練應用函數單調性、凹凸性等等工具證明函數不等式。

第七章　實數完備性

1.了解區間套、覆蓋、有限覆蓋、聚點等等的含義。

2.掌握實數完備性各定理的具體內容，領悟其證明的思想內涵。實數完備性構成數學分析的理論核心。

3.掌握閉區間上連續函數有界性、最值性、介值性、一致連續性定理的證明。

4.理解上極限、下極限的概念和等價敘述。

第八章　不定積分

1.知道原函數與不定積分的概念。

2.熟練掌握換元法、分部積分法。

3.會計算有理函數的積分。

4.會計算三角函數有理式、某些簡單無理式的積分。

第九章　定積分

1.深刻領會定積分的定義和性質。

2.深刻理解微積分基本定理，并會熟練應用。

3.熟練掌握換元法、分部積分法計算定積分。

4.知道可積條件和可積類。

第十章 定積分的應用

1.熟練掌握平面圖形面積的計算。

2.熟練掌握旋轉體或已知截面面積的體積。

3.會利用定積分求孤長、旋轉體的側面積。

第十一章　反常積分

1.了解反常積分收斂性定義。

2.熟練掌握反常積分斂散性判別法(Cauchy、Abel、Dirichlet三大判別法)，重點在無窮積分。

第十二章 數項級數

1.知道級數收斂和發散的定義、性質。

2.熟練掌握正項級數收斂的各種判別法

(比較判別法、比式判別法、根式判別法、拉貝判別法、積分判別法等)。

3.熟練掌握條件收斂、絕對收斂及Leibniz、Abel、Dirichlet三大判別法。

4.理解條件收斂、絕對收斂級數的特殊性質。

第十三章　函數列與函數項級數

1.深刻理解函數列、函數項級數一致收斂的ε-N定義。

2.熟練掌握函數列、函數項級數一致收斂的判別法。

3.熟練掌握一致收斂函數列和一致收斂函數項級數的性質。

第十四章　冪級數

1.掌握冪級數收斂域、收斂半徑以及和函數的求法，知道冪級數的若干性質。

2.熟練掌握函數的冪級數展開的方法。

3.會求冪級數的和函數及某些數項級數的和。

第十五章　傅里葉級數

1.熟記以

周期的付里葉系數公式，會求函數的傅里葉展式。

 

2.掌握余弦級數，正弦級數的求法。

3.理解收斂性定理，掌握Bessel不等式、Lebesgue引理等幾個重要定理。

4.知道Parseval等式并運用其求某些數項級數的和。

第十六章 多元函數的極限與連續

1.了解平面點集的若干概念、平面點集的完備性定理。

2.掌握二元函數之二重極限、二次極限的定義和計算。

3.掌握二元函數連續性及其性質。

第十七章　多元函數微分學

1.掌握全微分和偏導數的概念、了解其幾何性質。

2.會計算偏導數和全微分，會計算高階偏導數(尤其是二階偏導數)。

3.熟練掌握多元復合函數求導的鏈式法則、理解一階全微分形式不變性。

4.掌握二元函數連續、偏導數連續、可微、可偏導之間的多角關系。

5.知道二元函數中值定理與Taylor公式。

6.熟練掌握多元函數極值、最值的求解方法，并會運用于解決實際問題。

7.了解方向導數與梯度及其幾何、物理意義。

第十八章　隱函數定理及其應用

1.理解隱函數(組)定理。

2.會求隱函數(組)的微分。

3.會求空間曲線的切線與法平面，會求空間曲面的切平面與法線。

4.熟練掌握條件極值的Lagrange乘數法。

第十九章　含參量積分

1.掌握含參量正常積分的定義及性質。

2.熟練掌握含參量反常積分一致收斂定義、判別法。

3.熟練掌握一致收斂含參量反常積分的性質(連續性、可導性、可積性)。

4.掌握Euler積分并用于計算某些反常積分;掌握用積分號下求導數等方法計算某些積分和反常積分。

第二十章　曲線積分

1.理解第一、二型曲線積分的概念及物理意義。

2.熟練掌握兩型曲線積分的基本參數計算公式。

3.熟練掌握格林公式。

4.掌握第二型曲線積分與路徑無關的條件，會求全微分式的原函數。

第二十一章 重積分

1.知道二重積分、三重積分定義與性質，理解分割、求和、取極限三部曲內涵。

2.熟練掌握二重積分、三重積分的直角坐標計算---化為累次積分。

3.熟練掌握二重積分、三重積分的變量替換。重點是極坐標變換、柱坐標變換球坐標變換及廣義球坐標變換。

4.知道重積分幾何應用，會求曲面面積、重心坐標等。

第二十二章　曲面積分

1. 理解第一、二型曲面積分的概念及物理意義;了解兩種曲面積分的轉換關系。

2. 掌握兩型曲面積分的直角坐標計算公式。

3. 熟練掌握Gauss公式和Stokes公式。

參考教材：

1.數學分析(上、下冊)第五版，華東師范大學數學科學學院，北京:高等教育出社,2019。

2.數學分析教程(上、下)(第三版)，常庚哲，史濟懷，合肥：中國科學技術大學出版社，2012。