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數學碩士研究生入學考試《高等代數》考試大綱

考試科目名稱：《高等代數》 科目代碼：871

適用專業：0701數學(一級學科)

一、考試形式與試卷結構

(一)試卷總分及考試時間

本試卷總分為150分，考試時間為180分鐘。

(二)考試形式

考試形式為閉卷。

(三)試卷題型結構

以計算題和證明題為主。

二、考查目標

要求考生熟練掌握高等代數的基本知識、基本理論和基本方法，能夠熟練地運用高等代數的理論和方法解決相關問題。

三、考試內容

本課程考核內容主要包括多項式理論、行列式、矩陣理論、線性方程組、二次型、線性空間、線性變換、歐氏空間等八個部分。主要章節內容及考核重點如下：

第一章 多項式

1. 數域

2. 一元多項式

3. 整除的概念

4. 最大公因式

5. 因式分解定理

6. 重因式

7. 多項式函數

8. 復系數與實系數多項式的因式分解

9. 有理系數多項式

重點：多項式整除性質的應用，最大公因式的求法與判定，互素的判定，不可約多項式的性質及判定，重因式與重根的判定。

第二章 行列式

1. 排列

2. n階行列式

3. n階行列式的性質

4. 行列式的計算

5. 行列式按一行(列)展開

6. 克拉默法則

重點：行列式的計算及應用，克拉默法則的應用。

第三章 線性方程組

1. 消元法

2. n維向量空間

3. 線性相關性

4. 矩陣的秩

5. 線性方程組有解判別定理

6. 線性方程組解的結構

重點：向量組線性相關性的判定，向量組秩的判定，線性方程組有解的判別條件、齊次線性方程組有非零解的判定、基礎解系的求法，線性方程組的求解。

第四章 矩陣

1. 矩陣的概念

2. 矩陣的運算

3. 矩陣乘積的行列式與秩

4. 矩陣的逆

5. 矩陣的分塊

6. 初等矩陣

7. 分塊矩陣的初等變換及應用舉例

重點：矩陣的初等變換與初等矩陣的關系及其應用，矩陣可逆的判定，逆矩陣的求法，分塊矩陣的應用，矩陣秩的性質與判定。

第五章 二次型

1. 二次型的矩陣表示

2. 標準形

3. 唯一性

4. 正定二次型

重點：二次型的化簡，實二次型的正(負)慣性指數與符號差的判定，正定矩陣的性質與判定，(半)正定二次型的判定。

第六章 線性空間

1. 集合·映射

2. 線性空間的定義與簡單性質

3. 維數·基與坐標

4. 基變換與坐標變換

5. 線性子空間

6. 子空間的交與和

7. 子空間的直和

8. 線性空間的同構

重點：線性(子)空間的基與維數的求法，過渡矩陣的求法，維數公式的應用，子空間直和、線性空間同構的判別及應用。

第七章 線性變換

1. 線性變換的定義

2. 線性變換的運算

3. 線性變換的矩陣

4. 特征值與特征向量

5. 對角矩陣

6. 線性變換的值域與核

7. 不變子空間

8. 若當標準形介紹

重點：特征值與特征向量的判定與求法，線性變換(矩陣)可對角化的判定，線性變換的值域與核的性質及求法，不變子空間性質與判定。

第八章 歐幾里得空間

1. 定義與基本概念

2. 標準正交基

3. 同構

4. 正交變換

5. 子空間

6. 實對稱矩陣的標準形

重點：歐氏空間的判定，度量矩陣的性質與求法，標準正交基的判定與求法，正交變換與正交矩陣的性質與判定，實對稱矩陣的正交相似標準形的應用。

參考教材：

1.高等代數，第五版，北京大學數學系前代數小組編，王萼芳，石生明修訂，北京：高等教育出版社，2019。