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第一章函數與極限

1、函數的有界性在定義域內有f(x)≥K1則函數f(x)在定義域上有下界，K1為下界；如果有f(x)≤K2，則有上界，K2稱為上界。函數f(x)在定義域內有界的充分必要條件是在定義域內既有上界又有下界。

2、數列的極限定理(極限的唯一性)數列{xn}不能同時收斂于兩個不同的極限。

定理(收斂數列的有界性)如果數列{xn}收斂，那么數列{xn}一定有界。

如果數列{xn}無界，那么數列{xn}一定發散；但如果數列{xn}有界，卻不能斷定數列{xn}一定收斂，例如數列1，-1，1，-1，(-1)n+1…該數列有界但是發散，所以數列有界是數列收斂的必要條件而不是充分條件。

定理(收斂數列與其子數列的關系)如果數列{xn}收斂于a，那么它的任一子數列也收斂于a.如果數列{xn}有兩個子數列收斂于不同的極限，那么數列{xn}是發散的，如數列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子數列{x2k-1}收斂于1，{xnk}收斂于-1，{xn}卻是發散的；同時一個發散的數列的子數列也有可能是收斂的。

3、函數的極限函數極限的定義中0

定理(極限的局部保號性)如果lim(x→x0)時f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。

函數f(x)當x→x0時極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。

一般的說，如果lim(x→∞)f(x)=c，則直線y=c是函數y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x→x0)f(x)=∞，則直線x=x0是函數y=f(x)圖形的鉛直漸近線。

4、極限運算法則定理有限個無窮小之和也是無窮小；有界函數與無窮小的乘積是無窮小；常數與無窮小的乘積是無窮小；有限個無窮小的乘積也是無窮小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.

5、極限存在準則兩個重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夾逼準則如果數列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對于函數該準則也成立。

單調有界數列必有極限。

6、函數的連續性設函數y=f(x)在點x0的某一鄰域內有定義，如果函數f(x)當x→x0時的極限存在，且等于它在點x0處的函數值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數f(x)在點x0處連續。

不連續情形：1、在點x=x0沒有定義；2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在；3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時則稱函數在x0處不連續或間斷。

如果x0是函數f(x)的間斷點，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數f(x)的第一類間斷點(左右極限相等者稱可去間斷點，不相等者稱為跳躍間斷點)。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為第二類間斷點(無窮間斷點和震蕩間斷點)。

定理有限個在某點連續的函數的和、積、商(分母不為0)是個在該點連續的函數。

定理如果函數f(x)在區間Ix上單調增加或減少且連續，那么它的反函數x=f(y)在對應的區間Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上單調增加或減少且連續。反三角函數在他們的定義域內都是連續的。

定理(最大值最小值定理)在閉區間上連續的函數在該區間上一定有最大值和最小值。如果函數在開區間內連續或函數在閉區間上有間斷點，那么函數在該區間上就不一定有最大值和最小值。

定理(有界性定理)在閉區間上連續的函數一定在該區間上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零點定理)設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，且f(a)與f(b)異號(即f(a)×f(b)

推論在閉區間上連續的函數必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。