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渤海大學2023年碩士研究生入學考試自命題科目考試大綱

大綱所列項是考生需要掌握的基本內容，僅供復習參考使用。

科目代碼： 628                              

科目名稱：數學分析

一、考查目標

1.系統掌握數學分析的基礎知識、基本理論和基本方法。

2.了解數學分析的基礎知識、基本理論和基本方法的產生和發展過程。

3.能運用數學分析的基礎知識、基本理論和基本方法解決數學分析中的問題和一些實際應用問題。

二、考試形式與試卷結構

（一）試卷成績及考試時間

本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

（二）答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

（三）試卷內容結構

各部分內容所占分值為：

1.極限（一元極限和二元極限）理論（25℅）

2.一元微分學及應用（15℅）

3.一元積分學及應用（20℅）

4.多元微分學及應用（10℅）

5.重積分學（二重積分、三重積分）線、面（第一型和第二型）積分、含參量積分及應用（20℅）

6.級數理論（函數項級數、冪級數和傅里葉級數）（10℅）

（四）試卷題型結構

試卷的題型：計算題（40℅）、證明題（40℅）、應用題（20℅）

三、考查范圍

1.實數集與函數

第一節 實數

一、實數及其性質

二、絕對值與不等式

第二節 數集確界原理

一、區間與鄰域

二、有界集確界原理

第三節 函數概念

第四節 具有某些特性的函數

第二章 數列極限

第一節 數列極限概念

第二節 收斂數列的性質

第三節 數列極限存在的條件

第三章 函數極限

第一節 函數極限概念

第二節 函數極限的性質

第三節 函數極限存在的條件

第四節 兩個重要極限

第五節 無窮小量與無窮大量

一、無窮小量

二、無窮小量階的比較

三、無窮大量

四、曲線的漸近線

第四章 函數的連續性

第一節 連續性概念

一、函數在一點的連續性

二、間斷點及分類

三、區間上的連續函數

 第二節 連續函數的性質

一、連續函數的局部性質

二、閉區間上連續函數的基本性質

三、反函數的連續性

四、一致連續性

第三節 初等函數連續性

一、指數函數的連續性

二、初等函數的連續性

第五章 導數和微分

第一節 導數的概念

一、導數的概念

二、導函數

三、導數的幾何意義

第二節 求導法則

一、導數的四則運算

二、反函數的導數

三、復合函數的導數

四、基本求導法則與公式

第三節 參變量函數的導數

第四節 高階微分

第五節 微分

一、微分的概念

二、微分的運算法則

三、高階微分

第六章 微分中值定理及應用

第一節 拉格朗日定理和函數的單調性

一、羅爾定理與拉格朗日定理

二、單調函數

第二節 柯西中值定理和不定式極限

一、柯西中值定理

二、不定式極限

第三節 泰勒公式

一、帶有皮亞諾型余項的泰勒公式

二、帶有拉格朗日型余項的泰勒公式

第四節 函數的極值與最大（小）值

一、極值判別

二、最大值與最小值

第五節 函數的凸性與拐點

第六節 函數圖像的討論

第七章 實數的完備性

第一節 關于實數集完備性的基本定理

一、區間套定理

二、聚點定理與有限覆蓋定理

第八章 不定積分

第一節 不定積分概念與基本積分公式

一、原函數與不定積分

二、基本積分表

第二節 換元積分法與分部積分法

一、換元積分法

二、分部積分法

第三節 有理函數和可化為有理函數的不定積分

一、有理函數的不定積分

二、三角函數有理式的不定積分

三、某些無理函數的不定積分

第九章 定積分

第一節 定積分概念

一、定積分的定義

第二節 牛頓—萊布尼茲公式

第三節 可積條件

一、可積的必要條件

二、可積的充要條件

三、可積函數類

第四節 定積分的性質

一、定積分的基本性質

二、積分中值定理

第五節 微積分學基本定理 定積分計算

一、變限積分與原函數的存在性

二、換元積分法與分部積分法

第十章 定積分應用

第一節 平面圖形的面積

第二節 由平行截面面積求體積

第三節 平面曲線的弧長

一、平面曲線的弧長

第四節 旋轉曲面的面積

一、微元法

二、旋轉曲面的面積

第十一章 反常積分

第一節 反常積分概念

一、兩類反常積分的定義

第二節 無窮積分的性質與收斂判別

一、無窮積分的性質

二、非負函數無窮積分的斂散判別法

三、一般無窮積分的斂散判別法

第三節 瑕積分的性質與斂散判別

第十二章 數項級數

第一節 級數的收斂性

第二節 正項級數

一、正項級數斂散性的一般判別原則

二、比式判別法和根式判別法

三、積分判別法

第三節 一般項級數

一、交錯級數

二、絕對收斂級數及其性質

三、阿貝爾判別法和狄利克雷判別法

第十三章 函數列與函數項級數

第一節 一致收斂性

一、函數列及其一致收斂性

二、函數項級數及其一致收斂性

三、函數項級數的一致收斂性判別法

第二節 一致收斂函數列與函數項級數的性質

第十四章 冪級數

第一節 冪級數

一、冪級數的收斂區間

二、冪級數的性質

三、冪級數的運算

第二節 函數冪級數展開

一、泰勒級數

二、初等函數的冪級數展開式

第十五章 傅里葉級數

第一節 傅里葉級數

一、三角級數正交函數系

二、以為周期的函數的傅里葉級數

三、收斂定理

第二節 以為周期的函數的展開式

一、以為周期的函數的傅里葉級數

二、偶函數與奇函數的傅里葉級數

第三節 收斂定理的證明

第十六章 多元函數的極限與連續

第一節 平面點集與多元函數

第二節 二元函數的極限

一、二元函數的極限

二、累次極限

第三節 二元函數的連續性

一、二元函數的連續性概念

二、有界閉域上連續函數的性質

第十七章 多元函數微分學

第一節 可微性

一、可微性與全微分

二、偏導數

三、可微性條件

第二節 復合函數微分法

一、復合函數求導法則

二、復合函數的全微分

第三節 方向導數與梯度

第四節 泰勒公式與極值問題

一、高階偏導數

二、中值定理和泰勒公式

三、極值問題

第十八章 隱函數定理及其應用

第一節 隱函數

一、隱函數的概念

二、隱函數存在性條件的分析

三、隱函數定理

四、隱函數求導舉例

第二節 隱函數組

一、隱函數組的概念

二、隱函數組定理

三、反函數組與坐標變換

第三節 幾何應用

一、平面曲線的切線與法線

二、空間曲線的切線與法平面

三、曲面的切平面與法線

第四節 條件極值

第十九章 含參量積分

第一節 含參量正常積分

第二節 含參量反常積分

一、一致收斂性及判別法

二、含參量反常積分的性質

第二十章 曲線積分

第一節 第一型曲線積分

一、第一型曲線積分的定義

二、第一型曲線積分的計算

第二節 第二型曲線積分

一、第二型曲線積分的定義

二、第二型曲線積分的計算

三、兩類曲線積分的聯系

第二十一章 重積分

第一節 二重積分的概念

一、平面圖形的面積

二、二重積分的定義及其存在性

三、二重積分性質

第二節 直角坐標系下二重積分的計算

第三節 格林公式曲線積分與路徑無關性

一、格林公式

二、曲線積分與路徑無關性

第四節 二重積分的變量替換

一、二重積分的變量變換公式

二、用極坐標計算二重積分

 第五節 三重積分

一、三重積分的概念

二、化三重積分為累次積分

三、三重積分換元法

第六節 重積分的應用

一、曲面的面積

第二十二章 曲面積分

第一節 第一型曲面積分

一、第一型曲面積分的概念

二、第一型曲面積分的計算

第二節 第二型曲面積分

一、曲面的側

二、第二型曲面積分的概念

三、第二型曲面積分的計算

四、兩類曲面積分的聯系

第三節 高斯公式與斯托克斯公式

一、高斯公式

二、斯托克斯公式

主要參考書目（所列參考書目僅供參考）

考試類型	書名	作者	出版社	出版時間
初試參考 書目	《數學分析》 （第五版）	華東師范大學數學科學學院編	高等教育出版社	2019年
初試參考 書目	《中學數學教學設計》 （ 第三版）	何小亞、姚靜	科學出版社	2020年
初試參考 書目	《高等代數》 （ 第三版）	北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組編	高等教育出版社	2013年
復試參考 書目	《概率論與數理統計教程》	魏宗舒等編	高等教育出版社	2005年
復試參考 書目	《常微分方程》	王高雄、周之銘等編	高等教育出版社 （第3版）	2008年
復試參考 書目	《數學課程與教學論》	吳華、張守波等主編	北京師范大學 出版社	2012年
加試參考 書目	《 數學思想方法與中學數學》	錢佩玲主編	北京師范大學 出版社	2008年
加試參考 書目	《數學教育史》	代欽、松宮哲夫著	北京師范大學 出版社	2011年
加試參考 書目	《實變函數與乏函分析基礎》	程其襄等編	高等教育出版社	2010年
加試參考 書目	《概率論與數理統計教程》	魏宗舒等編	高等教育出版社	2005年
加試參考 書目	《常微分方程》	王高雄 周之銘等編	高等教育出版社 （ 第3版）	2008 年