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數學與統計學院碩士研究生招生考試考試大綱

科目代碼：608 科目名稱：數學分析

考試范圍：

一、實數集與函數

考試內容：確界、函數。

考試要求：(1)理解確界概念、確界原理、函數定義;(2)掌握確界及函數的簡單運算。

二、數列極限

考試內容：數列極限，收斂數列性質，數列極限存在法則，柯西收斂準則。

考試要求：(1)熟練掌握用定義驗證簡單數列極限的方法;(2)掌握用單調有界法則、迫斂性定理及性質證明數列極限存在的方法;(3)理解柯西收斂準則。

三、函數極限

考試內容：函數極限定義，函數極限性質，歸結原則(海涅定理)，柯西準則，兩個重要極限，無窮小量。

考試要求：(1)熟練掌握用定義驗證簡單函數極限的方法;(2)掌握函數極限性質、歸結原則及柯西準則;(3)熟練掌握兩個重要極限;(4)理解無窮小量性質。

四、函數的連續性

考試內容：連續函數，閉區間上連續函數性質，一致連續。

考試要求：(1)掌握函數連續性定義及性質;(2)熟練掌握用定義驗證簡單函數在某區間上是一致連續或非一致連續的方法。

五、導數與微分

考試內容：導數定義，求導法則與求導公式，高階導數，微分。

考試要求：(1)掌握導數定義;(2)掌握可導與連續的關系;(3)熟練掌握求導法則及參數方程所確定函數的求導方法;(4)掌握高階導數的計算方法;(5)理解微分概念。

六、微分中值定理及其應用

考試內容：中值定理，不定式極限，泰勒公式。

考試要求：(1)熟練掌握微分中值定理;(2)熟練掌握洛必達法則;(3)理解泰勒定理;(4)熟練掌握函數單調性、極值和凹凸性的判別方法。

七、實數的完備性

考試內容：區間套定理，聚點定理，有限覆蓋定理。

考試要求：掌握各定理及其簡單應用。

八、不定積分

考試內容：不定積分基本積分公式及運算法則，積分法。

考試要求：(1)熟練掌握換元、分部積分法;(2)掌握某些可有理化函數的不定積分的求法。

九、定積分

考試內容：定積分概念，可積函數類，定積分性質，微積分學基本定理，換元、分部積分法。

考試要求：(1)理解定積分概念;(2)理解可積函數類及其證明;(3)掌握微積分基本定理;(4)熟練掌握定積分的換元、分部積分法。

十、定積分的應用

考試內容：平面圖形的面積，平面曲線的弧長，旋轉體體積。

考試要求：(1)熟練掌握平面圖形面積及平面曲線弧長的計算方法;(2)掌握旋轉體的體積及側面積的計算方法。

十一、反常積分

考試內容：反常積分的收斂與發散，反常積分的計算。

考試要求：(1)理解反常積分的收斂與發散;(2)熟練掌握反常積分的絕對收斂與條件收斂的判定方法。

十二、數項級數

考試內容：數項級數，正項級數，任意項級數。

考試要求：(1)掌握數項級數收斂的定義;(2)熟練掌握正項級數斂散性的判斷方法;(3)掌握絕對收斂與條件收斂;(4)理解柯西準則。

十三、函數列與函數項級數

考試內容：函數列與函數項級數的一致收斂性，柯西準則，確界判別法，M判別法，極限函數與和函數的分析性質。

考試要求：(1)熟練掌握用定義及判別法判斷函數列、函數項級數的一致收斂性;(2)掌握極限函數、和函數的分析性質。

十四、冪級數

考試內容：阿貝爾定理，收斂區間，冪級數的性質，初等函數的冪級數展開。

考試要求：(1)掌握阿貝爾定理;(2)掌握一些初等函數的冪級數展開式;(3)熟練掌握冪級數和函數的求解方法。

十五、傅里葉級數

考試內容：傅里葉級數，傅里葉級數的展開。

考試要求：(1)理解收斂定理;(2)熟練掌握傅里葉展開式。

十六、多元函數的極限與連續

考試內容：二元函數的極限，局部性質，二元函數的連續。

考試要求：(1)熟練掌握重極限與累次極限的求解;(2)掌握二元函數連續與一致連續的定義;(3)理解二元連續函數的性質。

十七、多元函數微分學

考試內容：全微分，偏導數，高階偏導數，二元函數的極值。

考試要求：(1)熟練掌握二元函數的偏導數、全微分的定義;(2)熟練掌握偏導數及高階偏導數的求解;(3)理解二元函數的中值定理和泰勒公式;(4)熟練掌握二元函數極值的求解。

十八、隱函數定理及其應用

考試內容：隱函數存在定理，隱函數求導法，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線，條件極值。

考試要求：(1)理解隱函數存在定理;(2)熟練掌握求隱函數(組)偏導數及高階導數的方法;(3)掌握切線與法平面、切平面與法線的求解;(4)熟練掌握求條件極值的方法。

十九、含參量積分

考試內容：含參變量的定積分，含參變量反常積分，一致收斂，含參變量反常積分的分析性質。

考試要求：(1)理解含參量積分的概念與性質;(2)掌握含參量反常積分一致收斂的判定;(3)熟練掌握含參量積分的求值方法。

二十、曲線積分

考試內容：第一型曲線積分，第二型曲線積分。

考試要求：(1)理解兩類曲線積分的概念;(2)熟練掌握兩類曲線積分的計算。

二十一、重積分

考試內容：二重積分，三重積分，曲線積分與路徑無關的條件。

考試要求：(1)掌握二、三重積分計算方法;(2)理解二、三重積分的變量替換定理;(3)熟練掌握格林公式、曲線積分與路徑無關的條件;(4)熟練掌握極坐標及柱面坐標變換計算重積分。

二十二、曲面積分

考試內容：第一(二)型曲面積分，高斯公式與斯托克斯公式。

考試要求：(1)理解兩類曲面積分的概念;(2)掌握計算兩類曲面積分的方法;(3) 熟練掌握高斯公式的應用;(4)理解斯托克斯公式。

參考書目：

《數學分析》上、下冊第四版，華東師范大學數學系編，高等教育出版社。